Zgjidhja e ushtrimit 2

Barazimi i dhënë është: $$ \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} $$ Ky barazim është **i vërtetë**. Shumëzimi skalar (produkti i brendshëm) i vektorëve është komutativ, që do të thotë se rendi i vektorëve nuk ndikon në rezultatin e produktit skalar.

Barazimi i dhënë është: $$ (\vec{m} - \vec{n})\vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m} - \vec{p} \cdot \vec{n} $$ Ky barazim është **i gabuar**. Shumëzimi i një vektori me një kllapë që përmban diferencë vektorësh duhet të jetë një prodhim skalar, kështu që shënimi në anën e majtë duhet të ishte $(\vec{m} - \vec{n}) \cdot \vec{p}$. Nëse supozojmë se shenja e munguar është produkt skalar, pra $(\vec{m} - \vec{n}) \cdot \vec{p}$, atëherë: $$ (\vec{m} - \vec{n}) \cdot \vec{p} = \vec{m} \cdot \vec{p} - \vec{n} \cdot \vec{p} $$ Meqenëse produkti skalar është komutativ, $\vec{m} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m}$ dhe $\vec{n} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{n}$. Pra, barazimi i saktë do të ishte: $$ (\vec{m} - \vec{n}) \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m} - \vec{p} \cdot \vec{n} $$ Megjithatë, siç është shkruar, $(\vec{m} - \vec{n})\vec{p}$ nuk është një veprim i përcaktuar qartë në algjebrën vektoriale, pasi nuk ka kuptim të shumëzosh një vektor me një vektor tjetër pa një simbol operacioni (si prodhim skalar apo prodhim vektorial). Për shkak të këtij shënimi jo të saktë, barazimi është i gabuar.

Barazimi i dhënë është: $$ \begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix} = \sqrt{\vec{m}^2} $$ Ky barazim është **i vërtetë**. Këtu $\begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix}$ tregon madhësinë (modulin) e vektorit $\vec{m}$. Katrori i madhësisë së një vektori është i barabartë me produktin skalar të vektorit me vetveten, pra $\vec{m}^2 = \vec{m} \cdot \vec{m} = \begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix}^2$. Rrënja katrore e këtij produkti skalar na jep madhësinë e vektorit: $\sqrt{\vec{m}^2} = \sqrt{\begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix}^2} = \begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix}$.

Barazimi i dhënë është: $$ \begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{n} \end{vmatrix} \implies \vec{m} = \vec{n} $$ Ky barazim është **i gabuar**. Fakti që dy vektorë kanë të njëjtën madhësi nuk do të thotë që ata janë të barabartë. Vektorët janë të barabartë vetëm nëse kanë të njëjtën madhësi DHE të njëjtin drejtim. Për shembull, nëse $\vec{m} = (1, 0)$ dhe $\vec{n} = (0, 1)$, atëherë $\begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix} = 1$ dhe $\begin{vmatrix} \vec{n} \end{vmatrix} = 1$, por $\vec{m} \ne \vec{n}$ sepse kanë drejtime të ndryshme.

Barazimi: $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$

I Vërtetë.

Argumentimi: Prodhimi skalar i dy vektorëve është komutativ, që do të thotë se rendi i vektorëve në prodhimin skalar nuk e ndryshon rezultatin. Pra, $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$.

Barazimi: $(\vec{m} - \vec{n})\vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m} - \vec{p} \cdot \vec{n}$

I Gabuar.

Argumentimi: Kjo është e gabuar sepse shprehja $(\vec{m} - \vec{n})\vec{p}$ nënkupton një prodhim skalar të vektorit $\vec{p}$ me vektorin $(\vec{m} - \vec{n})$. Prodhimi skalar është distributiv. Pra, $(\vec{m} - \vec{n}) \cdot \vec{p} = \vec{m} \cdot \vec{p} - \vec{n} \cdot \vec{p}$.

Nga vetia komutative e prodhimit skalar, $\vec{m} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m}$ dhe $\vec{n} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{n}$.

Kështu, barazimi i saktë do të ishte $(\vec{m} - \vec{n}) \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{m} - \vec{p} \cdot \vec{n}$.

Megjithatë, mënyra se si shprehja $(\vec{m} - \vec{n})\vec{p}$ është shkruar në pyetje (pa pikën e prodhimit skalar) mund të interpretohet si një prodhim skalar i gabuar ose thjesht shënim i pasaktë, por nëse do të ishte prodhim skalar barazimi i saktë është $\vec{p} \cdot \vec{m} - \vec{p} \cdot \vec{n}$.

Barazimi: $\begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix} = \sqrt{\vec{m}^2}$

I Vërtetë.

Argumentimi: Moduli (ose gjatësia) i një vektori $\vec{m}$ shënohet me $ ||\vec{m}|| $ ose $ |\vec{m}| $. Ndërkohë, $ \vec{m}^2 $ është prodhimi skalar i vektorit me vetveten, $ \vec{m} \cdot \vec{m} $. Dhe ne e dimë se $ \vec{m} \cdot \vec{m} = ||\vec{m}||^2 $. Kështu, duke marrë rrënjën katrore në të dyja anët, $ \sqrt{\vec{m}^2} = \sqrt{||\vec{m}||^2} = ||\vec{m}|| $ (duke qenë se moduli është gjithmonë jonegativ). Pra, barazimi është i vërtetë.

Barazimi: $\begin{vmatrix} \vec{m} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{n} \end{vmatrix} \implies \vec{m} = \vec{n}$

I Gabuar.

Argumentimi: Fakti që dy vektorë kanë të njëjtin modul (gjatësi) nuk do të thotë se ata janë të barabartë. Vektorët janë të barabartë nëse kanë të njëjtin modul, të njëjtin drejtim dhe të njëjtin kah. Për shembull, në një sistem koordinativ 2D, vektori $\vec{m} = (1, 0)$ ka modul 1, dhe vektori $\vec{n} = (0, 1)$ ka modul 1. Pra, $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, por $ \vec{m} \neq \vec{n} $ sepse drejtimet e tyre janë të ndryshme.