Zgjidhja e ushtrimit 5

Për të gjetur prodhimin skalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$, zëvendësojmë shprehjet e dhëna për $\vec{a}$ dhe $\vec{b}$:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) $$

Duke përdorur vetitë e prodhimit skalar (distributivitetin), shpalosim shprehjen:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2\vec{m} \cdot \vec{m} - 4\vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{m} - 2\vec{n} \cdot \vec{n} $$

Meqenëse prodhimi skalar është ndërrues ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$), kemi:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 2(\vec{n} \cdot \vec{n}) $$

Kujtojmë se $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ dhe $\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}| |\vec{w}| \cos\alpha$, ku $\alpha$ është këndi ndërmjet vektorëve.

Duke zëvendësuar vlerat e dhëna $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 3$ dhe $\alpha = 60^\circ$:

• $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 2^2 = 4$
• $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = 3^2 = 9$
• $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Tani zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2(4) - 3(3) - 2(9) $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 8 - 9 - 18 $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -1 - 18 $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -19 $$