Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 7.1B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Nga dymbëdhjetë letra të shënuara me numrat 1 - 12, zgjidhet rastësisht njëra prej tyre. Në qoftë se letra e përzgjedhur ka një numër më të vogël se 4, hidhet monedha e rregullt AA.

Në qoftë se letra tregon një numër ndërmjet 4 dhe 8, hidhet monedha BB, për të cilën probabiliteti që të bjerë është 23\frac{2}{3}.

Në qoftë se numri në letër është më i madh se 8, hidhet monedha CC, për të cilën probabiliteti që të bjerë stemë është 13\frac{1}{3}.

  1. Gjeni probabilitetin që monedha e hedhur të tregojë lek.
  2. Në qoftë se monedha e hedhur tregon lek, llogaritni probabilitetin që të jetë hedhur monedha BB.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

Le të shënojmë ngjarjet:

  • $L_1$: Letra e zgjedhur ka numër më të vogël se 4. Këto janë numrat $\{1, 2, 3\}$.
  • $L_2$: Letra e zgjedhur ka numër ndërmjet 4 dhe 8. Këto janë numrat $\{4, 5, 6, 7, 8\}$.
  • $L_3$: Letra e zgjedhur ka numër më të madh se 8. Këto janë numrat $\{9, 10, 11, 12\}$.
  • $K$: Monedha e hedhur tregon lek.

Gjithsej kemi 12 letra. Probabilitetet e ngjarjeve $L_1, L_2, L_3$ janë:

  • $P(L_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
  • $P(L_2) = \frac{5}{12}$
  • $P(L_3) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Probabilitetet që monedha të tregojë lek, në varësi të ngjarjes:

  • Nëse $L_1$ ndodh, hidhet monedha $A$ (e rregullt). $P(K|L_1) = \frac{1}{2}$.
  • Nëse $L_2$ ndodh, hidhet monedha $B$. Probabiliteti për stemë është $\frac{2}{3}$. Pra, probabiliteti për lek është $P(K|L_2) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
  • Nëse $L_3$ ndodh, hidhet monedha $C$. Probabiliteti për stemë është $\frac{1}{3}$. Pra, probabiliteti për lek është $P(K|L_3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

  1. Për të gjetur probabilitetin që monedha e hedhur të tregojë lek, përdorim ligjin e probabilitetit total:

    $$P(K) = P(K|L_1)P(L_1) + P(K|L_2)P(L_2) + P(K|L_3)P(L_3)$$ $$P(K) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{12}\right) + \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)$$ $$P(K) = \frac{1}{8} + \frac{5}{36} + \frac{2}{9}$$

    Për të mbledhur thyesat, gjejmë emëruesin e përbashkët më të vogël të 8, 36, 9, i cili është 72.

    $$P(K) = \frac{9}{72} + \frac{10}{72} + \frac{16}{72}$$ $$P(K) = \frac{9 + 10 + 16}{72} = \frac{35}{72}$$

  2. Në qoftë se monedha e hedhur tregon lek, llogarisim probabilitetin që të jetë hedhur monedha $B$. Kjo është $P(L_2|K)$. Përdorim Teoremën e Bayes:

    $$P(L_2|K) = \frac{P(K|L_2)P(L_2)}{P(K)}$$

    Duke zëvendësuar vlerat e gjetura:

    $$P(L_2|K) = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{12}\right)}{\frac{35}{72}}$$ $$P(L_2|K) = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{35}{72}}$$ $$P(L_2|K) = \frac{5}{36} \times \frac{72}{35}$$ $$P(L_2|K) = \frac{5 \times 72}{36 \times 35}$$ $$P(L_2|K) = \frac{5 \times (2 \times 36)}{36 \times (7 \times 5)}$$ $$P(L_2|K) = \frac{2}{7}$$