Zgjidhja e ushtrimit 2

Le të zgjidhim secilën nga pyetjet e dhëna. Në këtë rast, kemi një shpërndarje binomiale ku jepet numri i përpjekjeve si \( n = 8 \) dhe probabiliteti i suksesit si \( p = \frac{1}{4} \).

1. Gjeni \( p(T = 4) \):

   Formula për probabilitetin për shpërndarjen binomiale është:

   \( p(T = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)

   Përdorim për \( k = 4 \):

   \( p(T = 4) = \binom{8}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{8-4} \)

   \( = \binom{8}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^4 \)

   Me llogaritje, kemi:

   \( = 70 \times \frac{1}{256} \times \frac{81}{256} = \frac{5670}{65536} \approx 0.0866 \)

   Këtu është rezultati i ndjeshëm deri në dy shifra pas presjes: 0.09

2. Gjeni \( p(T \geq 7) \):

   Kjo do të thotë se duam të gjejmë probabilitetin për \( T = 7 \) dhe \( T = 8 \).

   \( p(T \geq 7) = p(T = 7) + p(T = 8) \)

   Fillojmë me:

   \( p(T = 7) = \binom{8}{7} \left(\frac{1}{4}\right)^7 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 8 \times \frac{1}{16384} \times \frac{3}{4} = \frac{24}{16384} = \frac{3}{2048} \approx 0.0015 \)

   Për \( p(T = 8) \):

   \( p(T = 8) = \binom{8}{8} \left(\frac{1}{4}\right)^8 = 1 \times \frac{1}{65536} = \frac{1}{65536} \approx 0.00001526 \)

   Pra, gjithsej:

   \( p(T \geq 7) \approx 0.0015 + 0.00001526 \approx 0.00151526 \)

   Dhe rezultati është rreth 0.00 (deri në dy shifra pas presjes).

3. Gjeni \( p(3 \leq T < 5) \):

   Kjo është e barabartë me:

   \( p(T = 3) + p(T = 4) \)

   Kemi për \( p(T = 3) \):

   \( p(T = 3) = \binom{8}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^{5} = 56 \times \frac{1}{64} \times \left(\frac{243}{1024}\right) \approx 0.071 \)

   Dhe kemi llogaritur më parë \( p(T = 4) \approx 0.09 \).

   Pra,:

   \( p(3 \leq T < 5) \approx 0.071 + 0.0866 \approx 0.1576 \)

   Pra, rezultati për këtë pyetje është 0.16 (deri në dy shifra pas presjes).