Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 9

Zgjidhja e ushtrimit 9 të mësimit Përmbledhje dhe përsëritje 3 në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Vërtetoni identitetet e mëposhtme.

  1. 1 - cos2AA ≡\equiv tgAAsin2AA
  2. sin2AA(1 + tg2AA) ≡\equiv 2tgAA
  3. cotgAA - tgAA ≡\equiv 2cotg2AA
  4. 4sin4α\alpha + sin22α\alpha ≡\equiv 4sin2α\alpha
  5. sin2α\alpha - tgα\alpha ≡\equiv cos2α\alpha ⋅\cdot tgα\alpha
  6. cosα\alpha ⋅\cdot cosecα\alpha - sinα\alpha ⋅\cdot secα\alpha ≡\equiv 2cotg2α\alpha
  7. 1+tgα1−tgα\frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha} ≡\equiv tg(45°\degree + α\alpha)

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. Për të vërtetuar identitetin $1 - \cos 2A \equiv \tan A \sin 2A$:

    Fillojmë nga ana e majtë (AM):

    $$1 - \cos 2A$$

    Duke përdorur formulën e dyfishtë të këndit $\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A$, kemi:

    $$1 - (1 - 2 \sin^2 A) = 1 - 1 + 2 \sin^2 A = 2 \sin^2 A$$

    Tani shqyrtojmë anën e djathtë (AD):

    $$\tan A \sin 2A$$

    Duke zëvendësuar $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ dhe $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$:

    $$\frac{\sin A}{\cos A} \cdot (2 \sin A \cos A) = 2 \sin A \cdot \frac{\cos A}{\cos A} \cdot \sin A = 2 \sin^2 A$$

    Meqenëse AM = AD ($2 \sin^2 A = 2 \sin^2 A$), identiteti është vërtetuar.

  2. Për të vërtetuar identitetin $\sin 2A (1 + \tan^2 A) \equiv 2 \tan A$:

    Fillojmë nga ana e majtë (AM):

    $$\sin 2A (1 + \tan^2 A)$$

    Duke përdorur identitetin $1 + \tan^2 A = \sec^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$ dhe $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$:

    $$(2 \sin A \cos A) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 A}\right)$$ $$= \frac{2 \sin A \cos A}{\cos^2 A}$$ $$= \frac{2 \sin A}{\cos A}$$

    Duke zëvendësuar $\frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$:

    $$= 2 \tan A$$

    Meqenëse AM = AD ($2 \tan A = 2 \tan A$), identiteti është vërtetuar.

  3. Për të vërtetuar identitetin $\cot A - \tan A \equiv 2 \cot 2A$:

    Fillojmë nga ana e majtë (AM):

    $$\cot A - \tan A$$

    Duke zëvendësuar $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ dhe $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$:

    $$\frac{\cos A}{\sin A} - \frac{\sin A}{\cos A}$$

    Gjejmë emëruesin e përbashkët:

    $$\frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\sin A \cos A}$$

    Duke përdorur identitetet e dyfishta të këndit: $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$ dhe $\sin 2A = 2 \sin A \cos A \implies \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A$:

    $$\frac{\cos 2A}{\frac{1}{2} \sin 2A} = \frac{2 \cos 2A}{\sin 2A}$$

    Duke zëvendësuar $\frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \cot 2A$:

    $$= 2 \cot 2A$$

    Meqenëse AM = AD ($2 \cot 2A = 2 \cot 2A$), identiteti është vërtetuar.

  4. Për të vërtetuar identitetin $4 \sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha \equiv 4 \sin^2 \alpha$:

    Fillojmë nga ana e majtë (AM):

    $$4 \sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha$$

    Duke përdorur formulën e dyfishtë të këndit $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

    $$4 \sin^4 \alpha + (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2$$ $$= 4 \sin^4 \alpha + 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$$

    Faktorizojmë $4 \sin^2 \alpha$:

    $$= 4 \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$$

    Duke përdorur identitetin themelor $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

    $$= 4 \sin^2 \alpha (1)$$ $$= 4 \sin^2 \alpha$$

    Meqenëse AM = AD ($4 \sin^2 \alpha = 4 \sin^2 \alpha$), identiteti është vërtetuar.

  5. Për të vërtetuar identitetin $\sin 2\alpha - \tan \alpha \equiv \cos 2\alpha \cdot \tan \alpha$:

    Fillojmë nga ana e majtë (AM):

    $$\sin 2\alpha - \tan \alpha$$

    Duke zëvendësuar $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ dhe $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

    $$2 \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

    Gjejmë emëruesin e përbashkët:

    $$= \frac{2 \sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}$$

    Faktorizojmë $\sin \alpha$:

    $$= \frac{\sin \alpha (2 \cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha}$$

    Duke përdorur formulën e dyfishtë të këndit $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$:

    $$= \frac{\sin \alpha \cos 2\alpha}{\cos \alpha}$$ $$= \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

    Duke zëvendësuar $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$:

    $$= \cos 2\alpha \cdot \tan \alpha$$

    Meqenëse AM = AD ($\cos 2\alpha \cdot \tan \alpha = \cos 2\alpha \cdot \tan \alpha$), identiteti është vërtetuar.

  6. Për të vërtetuar identitetin $\cos \alpha \cdot \csc \alpha - \sin \alpha \cdot \sec \alpha \equiv 2 \cot 2\alpha$:

    Fillojmë nga ana e majtë (AM):

    $$\cos \alpha \cdot \csc \alpha - \sin \alpha \cdot \sec \alpha$$

    Duke zëvendësuar $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ dhe $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$:

    $$\cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}$$ $$= \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

    Kjo është e njëjtë me anën e majtë të identitetit të tretë. Pra:

    $$= \cot \alpha - \tan \alpha$$

    Siç u vërtetua në pikën 3, kjo shprehje është identike me $2 \cot 2\alpha$.

    $$= 2 \cot 2\alpha$$

    Meqenëse AM = AD ($2 \cot 2\alpha = 2 \cot 2\alpha$), identiteti është vërtetuar.

  7. Për të vërtetuar identitetin $\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} \equiv \tan(45^\circ + \alpha)$:

    Fillojmë nga ana e djathtë (AD):

    $$\tan(45^\circ + \alpha)$$

    Duke përdorur formulën e mbledhjes së tangjentit $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ me $x = 45^\circ$ dhe $y = \alpha$:

    $$\frac{\tan 45^\circ + \tan \alpha}{1 - \tan 45^\circ \tan \alpha}$$

    Meqenëse $\tan 45^\circ = 1$:

    $$= \frac{1 + \tan \alpha}{1 - 1 \cdot \tan \alpha}$$ $$= \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$$

    Meqenëse AD = AM ($\frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$), identiteti është vërtetuar.