Zgjidhja e ushtrimit 1
Zgjidhja e ushtrimit 1 të mësimit Përmbledhje dhe përsëritje 7 në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Nga disa letra të shënuara me numra nga 1 në 30, duhet të zgjidhet një letër. Në qoftë se numri në letër tregon një shumëfish të numrit 4, duhet të hidhet një monedhë e rregullt. Në qoftë se numri nuk është shumëfish i 4, duhet të hidhet një monedhë, probabiliteti i së cilës për të rënë stemë është . Gjeni probabilitetin që:
- monedha të bjerë stemë, duke ditur që numri shënuar në letër është shumëfish i numrit 4;
- monedha të bjerë stemë dhe numri i shënuar në letër të mos jetë shumëfish i numrit 4.
Zgjidhja
Le të shënojmë ngjarjet:
- $S$: Monedha bie stemë.
- $M_4$: Numri i zgjedhur është shumëfish i 4.
- $\overline{M_4}$: Numri i zgjedhur nuk është shumëfish i 4.
Numrat nga 1 deri në 30 janë gjithsej 30. Shumëfishat e 4 nga 1 deri në 30 janë: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Janë 7 shumëfisha.
Kështu, $P(M_4) = \frac{7}{30}$.
Numrat që nuk janë shumëfisha të 4 janë $30 - 7 = 23$.
Kështu, $P(\overline{M_4}) = \frac{23}{30}$.
1. Gjeni probabilitetin që monedha të bjerë stemë, duke ditur që numri shënuar në letër është shumëfish i numrit 4.
Nëse numri është shumëfish i 4, hidhet një monedhë e rregullt. Probabiliteti që një monedhë e rregullt të bjerë stemë është $\frac{1}{2}$.
Kjo është probabiliteti i kushtëzuar $P(S | M_4)$.
$$P(S | M_4) = \frac{1}{2}$$
2. Gjeni probabilitetin që monedha të bjerë stemë dhe numri i shënuar në letër të mos jetë shumëfish i numrit 4.
Kjo është $P(S \cap \overline{M_4})$.
Dimë se $P(S \cap \overline{M_4}) = P(S | \overline{M_4}) \times P(\overline{M_4})$.
Në qoftë se numri nuk është shumëfish i 4, hidhet një monedhë, probabiliteti i së cilës për të rënë stemë është $\frac{2}{3}$.
Kështu, $P(S | \overline{M_4}) = \frac{2}{3}$.
$$P(S \cap \overline{M_4}) = \frac{2}{3} \times \frac{23}{30} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}$$