Zgjidhja e ushtrimit 1
Zgjidhja e ushtrimit 1 të mësimit Ushtrime për përsëritje (krerët 1-3) në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Syprina e një trekëndëshi është (-1 + 3) cm2. Lartësia e tij është (3 + 2) cm. Gjeni gjatësinë e bazës. Përfundimin jepeni në trajtën + . Rrethoni përgjigjen e saktë.
- 0 + 2
- 0 + 1
- 3 - 1
- 6 - 2
Zgjidhja
Patëm një trekëndësh me sipërfaqe \(-1 + 3\sqrt{5}\) cm2 dhe lartësi \(3 + 2\sqrt{5}\) cm. Ne duam të gjejmë gjatësinë e bazës \(b\) me formulën e sipërfaqes së trekëndëshit:
Formula është:
\( A = \frac{1}{2} \times b \times h \)
Kemi:
- \( A = -1 + 3\sqrt{5} \)
- \( h = 3 + 2\sqrt{5} \)
Vendosim këto vlera në formulën për sipërfaqen:
\((-1 + 3\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \times b \times (3 + 2\sqrt{5})\)
Për të gjetur \( b \), do ta zgjidhim këtë ekuacion. Së pari, do të shumëzojmë të dy anët me 2 për të hequr gjysmën:
\(-2 + 6\sqrt{5} = b(3 + 2\sqrt{5})\)
Tani, do të ndajmë të dy anët me \( (3 + 2\sqrt{5}) \) për të gjetur \( b \):
\( b = \frac{-2 + 6\sqrt{5}}{3 + 2\sqrt{5}} \)
Tani, për të lehtësuar këtë shprehje, do të shumëzojmë numëruesin dhe shumëzuesin me \( (3 - 2\sqrt{5}) \) (kjo është shpërndarës i \( 3 + 2\sqrt{5} \) për t'u thjeshtuar nga radikalët):
\( b = \frac{(-2 + 6\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5})}{(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5})} \)
Fillimisht gjejmë \( (3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 20 = -11 \)
Përshkruajmë tani numëruesin:
\( (-2)(3) + 4\sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 12 = -6 + 22\sqrt{5} \)
Pra, kemi:
\( b = \frac{-6 + 22\sqrt{5}}{-11} \)
Kjo e thjeshton në:
\( b = \frac{6 - 22\sqrt{5}}{11} \)
Mund të shkruajmë përgjigjen në formën e kërkuar:
\( b = a + b\sqrt{5} \), ku:
- \( a = \frac{6}{11} \)
- \( b = -\frac{22}{11} = -2 \)
Pra, gjatësia e bazës është:
\( b = \frac{6}{11} - 2\sqrt{5} \)