Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 13

Zgjidhja e ushtrimit 13 të mësimit Ushtrime për përsëritje (krerët 1-3) në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Jepet funksioni ff: xx  \space 2x−14x2−2x−3\frac{2x-14}{x^2-2x-3} + 2x−3\frac{2}{x-3}, për xx > 3.

  1. Tregoni që ff(xx) paraqitet në trajtën kx+1\frac{k}{x+1}, ku kk është numër i plotë.
  2. Gjeni: i) bashkësinë e përcaktimit të ff(xx); ii) bashkësinë e vlerave të ff(xx).
  3. Gjeni funksionin e anasjellë ff-1(xx) dhe bashkësinë e përcaktimit të tij.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Për të treguar që $f(x)$ paraqitet në trajtën $\frac{k}{x+1}$, fillimisht faktorizojmë emëruesin e termit të parë:

    $$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$$

    Tani zëvendësojmë këtë në shprehjen e $f(x)$:

    $$f(x) = \frac{2x-14}{(x-3)(x+1)} + \frac{2}{x-3}$$

    Gjejmë emëruesin e përbashkët, i cili është $(x-3)(x+1)$:

    $$f(x) = \frac{2x-14}{(x-3)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-3)(x+1)}$$ $$f(x) = \frac{2x-14 + 2(x+1)}{(x-3)(x+1)}$$ $$f(x) = \frac{2x-14 + 2x+2}{(x-3)(x+1)}$$ $$f(x) = \frac{4x-12}{(x-3)(x+1)}$$

    Faktorizojmë 4 nga numëruesi:

    $$f(x) = \frac{4(x-3)}{(x-3)(x+1)}$$

    Meqenëse $x > 3$, atëherë $x-3 \neq 0$, kështu që mund të thjeshtojmë faktorin $(x-3)$:

    $$f(x) = \frac{4}{x+1}$$

    Kjo është në trajtën $\frac{k}{x+1}$ me $k=4$, i cili është një numër i plotë.

  2. i) Bashkësia e përcaktimit të $f(x)$ (Domain):

    Funksioni origjinal është $f(x) = \frac{2x-14}{x^2-2x-3} + \frac{2}{x-3}$. Emëruesit nuk mund të jenë zero.

    $$x^2-2x-3 \neq 0 \implies (x-3)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ dhe } x \neq -1$$ $$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$$

    Gjithashtu, jepet kushti $x > 3$.

    Duke kombinuar të gjitha kushtet, bashkësia e përcaktimit është $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\} = (3, \infty)$.

    ii) Bashkësia e vlerave të $f(x)$ (Range):

    Përdorim formën e thjeshtuar $f(x) = \frac{4}{x+1}$.

    Meqenëse $x > 3$:

    $$x+1 > 3+1$$ $$x+1 > 4$$

    Marrim të anasjelltën e të dyja anëve (shenja e inegalitetit ndryshon sepse numrat janë pozitivë):

    $$0 < \frac{1}{x+1} < \frac{1}{4}$$

    Shumëzojmë me 4:

    $$0 \cdot 4 < \frac{4}{x+1} < \frac{1}{4} \cdot 4$$ $$0 < f(x) < 1$$

    Bashkësia e vlerave është $(0, 1)$.

  3. Gjeni funksionin e anasjellë $f^{-1}(x)$ dhe bashkësinë e përcaktimit të tij:

    Për të gjetur funksionin e anasjellë, vendosim $y = f(x)$ dhe zgjidhim për $x$ në termat e $y$-it, pastaj këmbejmë $x$ me $y$.

    Marrim formën e thjeshtuar $y = \frac{4}{x+1}$.

    Këmbejmë $x$ dhe $y$:

    $$x = \frac{4}{y+1}$$

    Zgjidhim për $y$:

    $$x(y+1) = 4$$ $$xy + x = 4$$ $$xy = 4 - x$$ $$y = \frac{4-x}{x}$$

    Pra, funksioni i anasjellë është $f^{-1}(x) = \frac{4-x}{x}$.

    Bashkësia e përcaktimit e $f^{-1}(x)$ (Domain):

    Bashkësia e përcaktimit e funksionit të anasjellë është bashkësia e vlerave e funksionit origjinal.

    Nga pika 2.ii, bashkësia e vlerave e $f(x)$ është $(0, 1)$.

    Pra, bashkësia e përcaktimit e $f^{-1}(x)$ është $(0, 1)$.