Zgjidhja e ushtrimit 13

Për të treguar që $f(x)$ paraqitet në trajtën $\frac{k}{x+1}$, fillimisht faktorizojmë emëruesin e termit të parë:

$$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$$

Tani zëvendësojmë këtë në shprehjen e $f(x)$:

$$f(x) = \frac{2x-14}{(x-3)(x+1)} + \frac{2}{x-3}$$

Gjejmë emëruesin e përbashkët, i cili është $(x-3)(x+1)$:

$$f(x) = \frac{2x-14}{(x-3)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-3)(x+1)}$$ $$f(x) = \frac{2x-14 + 2(x+1)}{(x-3)(x+1)}$$ $$f(x) = \frac{2x-14 + 2x+2}{(x-3)(x+1)}$$ $$f(x) = \frac{4x-12}{(x-3)(x+1)}$$

Faktorizojmë 4 nga numëruesi:

$$f(x) = \frac{4(x-3)}{(x-3)(x+1)}$$

Meqenëse $x > 3$, atëherë $x-3 \neq 0$, kështu që mund të thjeshtojmë faktorin $(x-3)$:

$$f(x) = \frac{4}{x+1}$$

Kjo është në trajtën $\frac{k}{x+1}$ me $k=4$, i cili është një numër i plotë.

i) Bashkësia e përcaktimit të $f(x)$ (Domain):

Funksioni origjinal është $f(x) = \frac{2x-14}{x^2-2x-3} + \frac{2}{x-3}$. Emëruesit nuk mund të jenë zero.

$$x^2-2x-3 \neq 0 \implies (x-3)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ dhe } x \neq -1$$ $$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$$

Gjithashtu, jepet kushti $x > 3$.

Duke kombinuar të gjitha kushtet, bashkësia e përcaktimit është $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\} = (3, \infty)$.

ii) Bashkësia e vlerave të $f(x)$ (Range):

Përdorim formën e thjeshtuar $f(x) = \frac{4}{x+1}$.

Meqenëse $x > 3$:

$$x+1 > 3+1$$ $$x+1 > 4$$

Marrim të anasjelltën e të dyja anëve (shenja e inegalitetit ndryshon sepse numrat janë pozitivë):

$$0 < \frac{1}{x+1} < \frac{1}{4}$$

Shumëzojmë me 4:

$$0 \cdot 4 < \frac{4}{x+1} < \frac{1}{4} \cdot 4$$ $$0 < f(x) < 1$$

Bashkësia e vlerave është $(0, 1)$.