Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 28

Zgjidhja e ushtrimit 28 të mësimit Ushtrime për përsëritje (krerët 1-3) në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Jepet funksioni f:x→∣3−2x∣f: x \to \begin{vmatrix} 3-2x \end{vmatrix}.

  1. Skiconi grafikun e yy = ff(xx).
  2. Sa zgjidhje ka ekuacioni ∣3−2x∣ \begin{vmatrix} 3-2x \end{vmatrix} = xx.
  3. Zgjidhni grafikisht inekuacionin ∣3−2x∣\begin{vmatrix} 3-2x \end{vmatrix} ≥x\ge x.

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

Zgjidhja e Funksionit

Funksioni i dhënë është $f: x \to |3-2x|$.

  1. Skicimi i grafikut $y = f(x)$:

    Funksioni $y = |3-2x|$ mund të shkruhet si:

    • $y = 3-2x$, nëse $3-2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le \frac{3}{2}$.
    • $y = -(3-2x) = 2x-3$, nëse $3-2x < 0 \implies 3 < 2x \implies x > \frac{3}{2}$.

    Pika e kthesës është kur $3-2x = 0$, pra $x = \frac{3}{2}$. Në këtë pikë, $y=0$.

    Pikat kyçe për skicim:

    • Kur $x=0$, $y=|3-0|=3$. Pika $(0,3)$.
    • Kur $y=0$, $3-2x=0 \implies x=\frac{3}{2}$. Pika $(\frac{3}{2}, 0)$.
    • Marrim një pikë tjetër, p.sh. $x=2$: $y = |3-2(2)| = |3-4| = |-1|=1$. Pika $(2,1)$.

    Grafiku është një 'V' e drejtuar lart, me kulm në $(\frac{3}{2}, 0)$.

    Për të vizatuar, vizatoni drejtëzën $y=3-2x$ për $x \le \frac{3}{2}$ dhe drejtëzën $y=2x-3$ për $x > \frac{3}{2}$.

  2. Zgjidhjet e ekuacionit $|3-2x| = x$:

    Kemi dy raste:

    • Rasti 1: $3-2x = x$, me kusht $x \ge 0$. $$3 = 3x$$ $$x = 1$$ Kushti $1 \ge 0$ plotësohet, pra $x=1$ është zgjidhje.
    • Rasti 2: $-(3-2x) = x$, me kusht $x \ge 0$. $$-3+2x = x$$ $$x = 3$$ Kushti $3 \ge 0$ plotësohet, pra $x=3$ është zgjidhje.

    Ekuacioni ka dy zgjidhje.

    Nëpërmjet grafikut, vizatohet drejtëza $y=x$ dhe shikohen pikat e prerjes me $y=|3-2x|$. Do të shihni dy pika prerjeje, duke konfirmuar dy zgjidhje.

  3. Zgjidhja grafike e inekuacionit $|3-2x| \ge x$:

    Kërkojmë vlerat e $x$-it për të cilat grafiku i $y=|3-2x|$ është mbi ose në drejtëzën $y=x$.

    Nga pika e dytë, pikat e prerjes janë $x=1$ dhe $x=3$.

    Duke parë grafikët e $y=|3-2x|$ dhe $y=x$:

    • Për $x < 1$, grafiku $y=|3-2x|$ është mbi $y=x$.
    • Për $1 \le x \le 3$, grafiku $y=|3-2x|$ është nën ose mbi $y=x$ (në pikat $x=1,3$).
    • Për $x > 3$, grafiku $y=|3-2x|$ është mbi $y=x$.

    Duke analizuar zonat në lidhje me pikat e prerjes:

    • Testojmë $x=0$: $|3-0| \ge 0 \implies 3 \ge 0$, e vërtetë. Pra, $x < 1$ është pjesë e zgjidhjes.
    • Testojmë $x=2$ (ndërmjet 1 dhe 3): $|3-2(2)| \ge 2 \implies |-1| \ge 2 \implies 1 \ge 2$, e gabuar. Pra, zona $(1,3)$ nuk është pjesë e zgjidhjes.
    • Testojmë $x=4$: $|3-2(4)| \ge 4 \implies |-5| \ge 4 \implies 5 \ge 4$, e vërtetë. Pra, $x > 3$ është pjesë e zgjidhjes.

    Inkuadrimi i barazisë bën që pikat e prerjes të jenë gjithashtu pjesë e zgjidhjes.

    Bashkësia e zgjidhjeve është $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.