Zgjidhja e ushtrimit 50

Le të shënojmë këndin e bazës me $\alpha$ dhe këndin e kulmit me $\beta$.

• Dihet se shuma e këndeve në një trekëndësh është $180^\circ$. Për një trekëndësh dybrinjënjëshëm, dy këndet e bazës janë të barabarta, pra $\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$.
• Kështu, këndi i kulmit është $\beta = 180^\circ - 2\alpha$.
• Duhet të gjejmë $\sin(\beta) = \sin(180^\circ - 2\alpha)$.
• Duke përdorur identitetin $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, kemi $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.
• Identiteti i sinusit të këndit të dyfishtë është $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
• Na është dhënë $\sin(\alpha) = \frac{2}{3}$. Për të gjetur $\cos(\alpha)$, përdorim identitetin themelor $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
• $\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$
• $\frac{4}{9} + \cos^2(\alpha) = 1$
• $\cos^2(\alpha) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
• Meqenëse $\alpha$ është kënd i bazës së një trekëndëshi, ai duhet të jetë një kënd i ngushtë ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Prandaj, $\cos(\alpha)$ duhet të jetë pozitiv.
• $\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
• Tani zëvendësojmë vlerat në identitetin $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:
• $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(2\alpha) = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

Pra, sinusi i këndit të kulmit të trekëndëshit është $\frac{4\sqrt{5}}{9}$.