Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 22

Zgjidhja e ushtrimit 22 të mësimit Vlerësim 2 në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Brinjët e një trekëndëshi formojnë progresion aritmetik me diferencë 2 cm. Syprina e tij është 6 cm2. Gjeni brinjët e trekëndëshit.

Udhëzim: Shënoni brinjët aa = xx - 2; bb = xx; cc = xx + 2 dhe përdorni formulën e Heronit për syprinën e trekëndëshit: S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, ku p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}.

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

Le të shënojmë brinjët e trekëndëshit:

$a = x - 2$

$b = x$

$c = x + 2$

Përimetri i gjysmës $p$ është:

$$p = \frac{(x-2) + x + (x+2)}{2} = \frac{3x}{2}$$

Syprina e trekëndëshit jepet nga formula e Heronit $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Ne kemi $S=6$ cm$^2$. Zëvendësojmë vlerat:

$$p-a = \frac{3x}{2} - (x-2) = \frac{3x - 2x + 4}{2} = \frac{x+4}{2}$$ $$p-b = \frac{3x}{2} - x = \frac{3x - 2x}{2} = \frac{x}{2}$$ $$p-c = \frac{3x}{2} - (x+2) = \frac{3x - 2x - 4}{2} = \frac{x-4}{2}$$

Tani zëvendësojmë në formulën e Heronit:

$$6 = \sqrt{\frac{3x}{2} \cdot \frac{x+4}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x-4}{2}}$$ $$6 = \sqrt{\frac{3x^2(x^2-16)}{16}}$$

Ngremë të dyja anët në katror:

$$36 = \frac{3x^2(x^2-16)}{16}$$ $$36 \cdot 16 = 3x^2(x^2-16)$$ $$576 = 3x^4 - 48x^2$$ $$3x^4 - 48x^2 - 576 = 0$$

Pjesëtojmë me 3:

$$x^4 - 16x^2 - 192 = 0$$

Le të shënojmë $y = x^2$. Atëherë ekuacioni bëhet:

$$y^2 - 16y - 192 = 0$$

Zgjidhim ekuacionin kuadratik për $y$ duke përdorur formulën e diskriminantës $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$$D = (-16)^2 - 4(1)(-192) = 256 + 768 = 1024$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$$ $$y_1 = \frac{16 - 32}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ $$y_2 = \frac{16 + 32}{2} = \frac{48}{2} = 24$$

Meqenëse $y = x^2$, dhe $x$ është një gjatësi, $x^2$ nuk mund të jetë negativ. Kështu, $y_1 = -8$ refuzohet.

Përdorim $y_2 = 24$:

$$x^2 = 24$$ $$x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

Tani gjejmë brinjët e trekëndëshit:

$$a = x - 2 = 2\sqrt{6} - 2$$ $$b = x = 2\sqrt{6}$$ $$c = x + 2 = 2\sqrt{6} + 2$$

Verifikojmë kushtin e trekëndëshit ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$):

$(2\sqrt{6}-2) + 2\sqrt{6} > 2\sqrt{6}+2 \Rightarrow 4\sqrt{6}-2 > 2\sqrt{6}+2 \Rightarrow 2\sqrt{6} > 4 \Rightarrow \sqrt{6} > 2 \Rightarrow 6 > 4$ (Vërtetë)

Përgjigje: Brinjët e trekëndëshit janë $2\sqrt{6} - 2$ cm, $2\sqrt{6}$ cm dhe $2\sqrt{6} + 2$ cm.