Ushtrimi 9 | Vlerësim 5 | Matematika 12 (me zgjedhje) | Zgjidhje Ushtrimesh

Mësimi

Ushtrimi

Pyetja

Jepet $f(x)= \frac{6x^3 + 14x^2 + 11x-1}{3x^2+7x+2}$ .

a) Duke ditur që $f(x)$ mund të shprehet në trajtën $Ax + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{3x+1}$ , gjeni vlerat e konstanteve $A$ , $B$ dhe $C$ .

Koeficienti i pjerrësisë së vijës jepet nga formula $\frac{dy}{dx} = f(x)$ .

b) Gjeni ekuacionin e vijës, në rast se ajo kalon nga pika (0, 0).

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Zgjidhja

Duke kryer pjesëtimin polinomial:

$$f(x) = \frac{6x^3 + 14x^2 + 11x - 1}{3x^2 + 7x + 2} = 2x + \frac{7x-1}{3x^2+7x+2}$$

$$3x^2 + 7x + 2 = (3x+1)(x+2)$$

$$f(x) = 2x + \frac{7x-1}{(3x+1)(x+2)} = 2x + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{3x+1}$$

$$7x - 1 = B(3x+1) + C(x+2)$$

Për $x = -2$: $$-14 - 1 = B(-6 + 1) \implies -15 = -5B \implies B = 3$$

Për $x = -\frac{1}{3}$: $$-\frac{7}{3} - 1 = C(-\frac{1}{3} + 2) \implies -\frac{10}{3} = \frac{5}{3}C \implies C = -2$$

$$A = 2, \quad B = 3, \quad C = -2$$

$$\frac{dy}{dx} = 2x + \frac{3}{x+2} - \frac{2}{3x+1}$$

$$y = \int (2x + \frac{3}{x+2} - \frac{2}{3x+1}) dx$$

$$y = x^2 + 3\ln|x+2| - \frac{2}{3} \ln|3x+1| + K$$

Duke qënë se kalon nga $(0,0)$: $$0 = 0 + 3\ln|2| - \frac{2}{3} \ln|1| + K \implies 0 = 3\ln 2 + K \implies K = -3\ln 2$$

$$y = x^2 + 3\ln|x+2| - \frac{2}{3} \ln|3x+1| - 3\ln 2$$