Ushtrimi 4 | 1A | Matematika 12 (me zgjedhje) | Zgjidhje Ushtrimesh

Mësimi

Ushtrimi

Pyetja

Vërteto pohimet që vijojnë me metodën e supozimit nga e kundërta.

Nuk ekziston numri i plotë çift më i madh.
Në qoftë se $n^3$ është çift, atëherë $n$ është çift.
Në qoftë se numri $pq$ është çift, atëherë të paktën një nga numrat $p$ dhe $q$ është çift.
Në qoftë se numri $p + q$ është tek, atëherë të paktën një nga numrat $p$ dhe $q$ është tek.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

Supozojmë se ekziston numri i plotë çift më i madh, të cilin e shënojmë me $2n$ . Nga ana tjetër kemi $2(n+1)$ , i cili, veçse është një numër i plotë, është dhe më i madh se $2n$ . Nëse zbërthejmë kllapat e tij do kishim $2(n+1) = 2n+2$ , ku $2n$ është numrë çift dhe dyshi po ashtu. Shum e dy numrave çift jep numër çift. Pra gjetëm një numër çift më të madh se ai fillestari, gjë që hedh poshtë supozimin se numri më i madh çift është $2n$ . Ndaj, nuk ekziston numri i plotë çift më i madh.
Supozojmë se ekziston një numër $n$ që i ngritur në kub ( $n^3$ ) jep numër çift, ndërsa vetë $n$ është numër tek. Meqë $n$ është tek, atëherë mund ta shkruajmë si $n = 2a + 1$ , ku $a$ është numër çfarëdo. E ngrejmë këtë të fundit në kub dhe kemi, $n^3 = (2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$ . Faktorizojmë tre kufizat e para me dy dhe kemi $n^3$ = $2(4a^3 + 6a^2+3a)+1$ . Shprehja në kllapa jep një numër çfarëdo, të cilin mund ta shënojmë me $a$ dhe do kishim $n^3 = 2a + 1$ , ku shprehja $2a + 1$ jep një numër tek, ndaj $n^3$ është numër tek. Kjo bie në kundërshtim me supozimin që bëmë në fillim, prandaj nëse $n^3$ është çift, atëherë edhe $n$ duhet të jetë çift.
Supozojmë se nëse $pq$ është çift atëherë as $p$ dhe as $q$ nuk janë numra çift. Ndaj shënojmë $p$ si numër tek, $p = 2a + 1$ (ku $a$ është numër çfarëdo) dhe $q$ si numër tek, $q = 2b + 1$ (ku $b$ është numër çfarëdo). Shumëzojmë numrat dhe kemi, $pq = (2a + 1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1$ . Faktorizojmë tre kufizat e para me dy dhe kemi, $pq = 2(2ab+a+b)+1$ . Shprehja në kllapa jep një numër çfarëdo, ndaj mund të themi se $pq$ është numër tek. Kjo bie në kundërshtim me supozimin tonë, prandaj nëse $pq$ është çift, atëherë të paktën një nga numrat $p$ dhe $q$ duhet të jetë çift.
Supozojmë se nëse $p+q$ është numër tek atëherë as $p$ dhe as $q$ nuk janë numra tek. Shënojmë $p$ si numër çift, $p = 2a$ (ku $a$ është numër çfarëdo) dhe $q$ si numër çift, $q = 2b$ (ku $b$ është numër çfarëdo). Mbledhim numrat dhe kemi, $p + q = 2a + 2b = 2(a+b)$ . Pra, mund të themi se $p + q$ është numër çift. Kjo bie në kundërshtim me supozimin tonë, ndaj nëse $p + q$ është numër tek, atëherë të paktë një nga numrat $p$ dhe $q$ duhet të jetë tek.

Zgjidhja e ushtrimit 4

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!