Zgjidhja e ushtrimit 4

Supozojmë se ekziston numri i plotë çift më i madh, të cilin e shënojmë me $2n$. Nga ana tjetër kemi $2(n+1)$, i cili, veçse është një numër i plotë, është dhe më i madh se $2n$. Nëse zbërthejmë kllapat e tij do kishim $2(n+1) = 2n+2$, ku $2n$ është numrë çift dhe dyshi po ashtu. Shum e dy numrave çift jep numër çift. Pra gjetëm një numër çift më të madh se ai fillestari, gjë që hedh poshtë supozimin se numri më i madh çift është $2n$. Ndaj, nuk ekziston numri i plotë çift më i madh.

Supozojmë se ekziston një numër $n$ që i ngritur në kub ($n^3$) jep numër çift, ndërsa vetë $n$ është numër tek. Meqë $n$ është tek, atëherë mund ta shkruajmë si $n = 2a + 1$, ku $a$ është numër çfarëdo. E ngrejmë këtë të fundit në kub dhe kemi, $n^3 = (2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$. Faktorizojmë tre kufizat e para me dy dhe kemi $n^3$ = $2(4a^3 + 6a^2+3a)+1$. Shprehja në kllapa jep një numër çfarëdo, të cilin mund ta shënojmë me $a$ dhe do kishim $n^3 = 2a + 1$, ku shprehja $2a + 1$ jep një numër tek, ndaj $n^3$ është numër tek. Kjo bie në kundërshtim me supozimin që bëmë në fillim, prandaj nëse $n^3$ është çift, atëherë edhe $n$ duhet të jetë çift.