Ushtrimi 7 | 1A | Matematika 12 (me zgjedhje) | Zgjidhje Ushtrimesh

Mësimi

Ushtrimi

Pyetja

Vërteto se në qoftë se $n^2$ është një shumëfish i 3, atëherë $n$ është shumëfish i 3.
Rrjedhimisht trego se $\sqrt{3}$ është një numër irracional me metodën e supozimit nga e kundërta.

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

Supozojmë se ekziston një numër $n$ i tillë që $n^2$ është shumëfish i treshit, por vetë $n$ nuk është shumëfish i treshit. Çdo shumëfish i treshit mund të shkruhet si $n = 3a$ , ku $a$ është numër i plotë, ndaj $3a + 1$ dhe $3a + 2$ nuk janë shumëfisha të treshit. Marrim në fillim rastin e parë dhe e ngrejmë në katror, $n = 3a + 1 \rArr n^2 = (3a+1)^2 = 9a^2 + 6a + 1 = 3(3a^2 + 2a) + 1$ . Në këtë rast $n^2$ nuk është shumëfish i treshit. Shohim rastin e dytë, $n = 3a + 2 \rArr n^2 = (3a+2)^2 = 9a^2 + 12a + 4 = 3(3a^2+4a+1)+1$ . As në këtë rast $n^2$ nuk është shumëfish i treshit. Kjo bie në kundërshtim me supozimin tonë, ndaj mund të themi se nëse $n^2$ është shumëfish i treshit atëherë edhe $n$ është shumëfish i treshit.
Supozojmë se $\sqrt{3}$ është numër racional, ndaj kemi $\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}$ , ku $a$ dhe $b$ janë numra të plotë. Gjithashtu supozojmë se thyesa $\dfrac{a}{b}$ është e thjeshtuar plotësisht, ndaj nuk ka shumëfisha të përbashkët ndërmjet $a$ dhe $b$ . Pra kemi $3 = \dfrac{a^2}{b^2}$ ose $a^2 = 3b^2$ , që do të thotë se $a^2$ duhet të jetë shumëfish i treshit. Nga kërkesa a) mund të themi se vetë $a$ duhet të jetë gjithashtu shumëfish i treshit. Shkruajmë $a = 3c$ , që do të thotë se $a^2 = (3c)^2 = 9c^2$ . Tani kemi $9c^2 = 3b^2$ ose $3c^2 = b^2$ . Kjo do të thotë se edhe $b^2$ është shumëfish i treshit, ndaj dhe vetë $b$ është shumëfish i treshit. Nëse $a$ dhe $b$ janë shumëfisha të treshit, atëherë hidhet poshtë deklarata se $a$ dhe $b$ nuk kanë shumëfisha të përbashkët. Prandaj, $\sqrt{3}$ është numër irracional.

Zgjidhja e ushtrimit 7

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!