Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 5

Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 3F në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Mediaprint me autorë Greg Attwood, Jack Barraclough, Ian Bettison, Keith Gallick, Daniel Goldberg, Anne McAteer, Alistair Macpherson, Bronwen Moran, Joe Petran, Keith Bledger, Cong San, Harry Smith, Geoff Staley dhe Dave Wilkins.

Pyetja

Një varg është përcaktuar për çdo n≥1n \ge 1 me anë të relacionit rekurent un+1=pun+qu_{n+1}=pu_n+q, u1=2u_1=2.

Jepet se u2=−1u_2=-1 dhe u3=11u_3=11, gjej vlerat e pp dhe qq.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

Dimë u1=2u_1=2.

Për u2u_2 do kishim n=1n=1, sepse un+1=u1+1=u2u_{n+1} = u_{1+1}=u_2, ndaj u2=pu1+qu_2=pu_1+q == p×2+qp \times 2 + q == 2p+q2p+q. Kjo vlerë do ishte e barabartë me u2=−1u_2=-1, kështu që mund të themi se 2p+q=−1⇒q=−2p−12p+q=-1 \rArr q=-2p-1.

Për u3u_3 do kishim n=2n=2, sepse un+1=u2+1=u3u_{n+1}=u_{2+1}=u_3, ndaj u3=pu2+qu_3=pu_2+q == p×(2p+q)+qp \times (2p+q)+q == 2p2+pq+q2p^2+pq+q. Kjo vlerë do ishte e barabartë me u3=11u_3=11, kështu që mund të themi se 2p2+pq+q=112p^2+pq+q=11. Në vend të ndryshoreve qq zëvëndësojmë vlerën e saj (q=−2p−1q=-2p-1), dhe do kishim 2p2+p(−2p−1)+(−2p−1)=112p^2+p(-2p-1)+(-2p-1)=11 ⇒\rArr 2p2−2p2−p−2p−1=11\cancel{2p^2}-\cancel{2p^2} -p-2p-1=11 ⇒\rArr −3p=12-3p=12 ⇒\rArr p=−4p=-4.

Tani që gjetëm p=−4p=-4, e zëvëndësojmë për të gjetur q=−2p−1=−2×(−4)−1=8−1=7q=-2p-1 = -2 \times (-4) - 1 = 8-1=7.