Zgjidhje ushtrimi

Zgjidhja e ushtrimit 15

Zgjidhja e ushtrimit 15 të mësimit 1.3B - Rrënjët në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Mësimi

Ushtrimi

Pyetja

Matematikani indian Brahmagupta (598 - 670) gjeti një formulë për të njehsuar syprinën e një katërkëndëshi, kulmet e të cilit ndodhen në një rreth. Në qoftë se brinjët e katërkëndëshit janë $a$ , $b$ , $c$ dhe $d$ dhe $p=\dfrac{a + b + c + d}{2}$ atëherë syprina është $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ .

Katërkëndëshi me brinjë me gjatësi $5+5\sqrt{2}$ , $3+3\sqrt{2}$ , $6+4\sqrt{2}$ dhe $2+4\sqrt{2}$ është brendashkruar në një rreth. Tregoni që

$S = 2(1 + \sqrt{2})\sqrt{15(11 + 8\sqrt{2})}$ .

Zgjidhja

Do të përdorim përcaktimin e gjysmëperimetrit $p$ dhe formulën e Brahmaguptas për syprinë e katërkëndëshit të rrethushëm.

Fillimisht llogarisim gjysmëperimetrin $p = \frac{a + b + c + d}{2}$ duke zëvendësuar vlerat e brinjëve:

$$p = \frac{(5 + 5\sqrt{2}) + (3 + 3\sqrt{2}) + (6 + 4\sqrt{2}) + (2 + 4\sqrt{2})}{2}$$

Shpërndajmë mbledhjen për termat rregullt dhe me rrënjë:

$$5 + 3 + 6 + 2 = 16, \quad 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$

Kështu $p = \frac{16 + 16\sqrt{2}}{2} = 8 + 8\sqrt{2}$.

Gjejmë secilin term $(p - a)$, $(p - b)$, $(p - c)$ dhe $(p - d)$:

$(p - a) = (8 + 8\sqrt{2}) - (5 + 5\sqrt{2}) = 3 + 3\sqrt{2}$
$(p - b) = (8 + 8\sqrt{2}) - (3 + 3\sqrt{2}) = 5 + 5\sqrt{2}$
$(p - c) = (8 + 8\sqrt{2}) - (6 + 4\sqrt{2}) = 2 + 4\sqrt{2}$
$(p - d) = (8 + 8\sqrt{2}) - (2 + 4\sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2}$

Edhe 5 hapa deri te përgjigjja

Hapat e tjerë janë falas në aplikacion

Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.

4.8/5100,000+ shkarkimePa pagesë, gjithmonë

Shkarko nëApp Store

Merr nëGoogle Play

Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.

Vazhdo në aplikacion