Zgjidhja e ushtrimit 5

Për të zgjidhur problemin, do të ndjekim hapat e kërkuar.

1. Veçojmë katrorin e binomit për funksionin $h = 50 + 25t - 5t^2$:

   $$h = -5t^2 + 25t + 50$$ $$h = -5(t^2 - 5t - 10)$$ Për të veçuar katrorin e binomit, shtojmë dhe heqim $(\frac{-5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$: $$h = -5\left(t^2 - 5t + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} - 10\right)$$ $$h = -5\left(\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} - \frac{40}{4}\right)$$ $$h = -5\left(\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{65}{4}\right)$$ $$h = -5\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{325}{4}$$ $$h = -5(t - 2.5)^2 + 81.25$$

2. Ndërtimi i grafikut të $h = 50 + 25t - 5t^2$. Ky është një parabolë që hapet poshtë, pasi koeficienti i $t^2$ është negativ ($-5$).

   Pika e kulmit (maksimumit) gjendet nga forma e veçuar e katrorit të binomit: $h = -5(t - 2.5)^2 + 81.25$.

   Kulmi është në $(t_v, h_v) = (2.5, 81.25)$.

   Për të ndërtuar grafikun, llogarisim disa pika:

   • Pika kur $t=0$: $h = 50 + 25(0) - 5(0)^2 = 50$. Pika është $(0, 50)$. Kjo është lartësia fillestare e gurit (lartësia e shkëmbit).
   • Pika e kulmit: $(2.5, 81.25)$.
   • Pika simetrike me $(0, 50)$ në lidhje me aksin e simetrisë $t = 2.5$. Kjo pikë do të jetë në $t = 2.5 + (2.5 - 0) = 5$. Për $t=5$: $h = 50 + 25(5) - 5(5)^2 = 50 + 125 - 125 = 50$. Pika është $(5, 50)$.
   • Pika kur guri bie në det ($h=0$): $-5t^2 + 25t + 50 = 0$. Pjesëtojmë me $-5$: $t^2 - 5t - 10 = 0$. Përdorim formulën kuadratike $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}$$ $$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 40}}{2}$$ $$t = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2}$$ Marrim vetëm vlerën pozitive të $t$ pasi koha nuk mund të jetë negative: $$t = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \approx \frac{5 + 8.06}{2} \approx \frac{13.06}{2} \approx 6.53$$ Pika është rreth $(6.53, 0)$.

   Mbi një sistem koordinativ, vizatoni pikat $(0, 50)$, $(2.5, 81.25)$, $(5, 50)$, dhe $(6.53, 0)$ dhe bashkojini ato me një vijë të lëmuar për të formuar parabolën.

   (Shënim: Nuk mund të gjeneroj imazhe, por ky përshkrim ju ndihmon të vizatoni grafikun.)

3. Përdorim grafikun (ose llogaritjet nga hapi 1) për të gjetur me përafërsi:

   1. Lartësinë më të madhe të gurit mbi det dhe kohën kur ai e arrin këtë lartësi:

      Kjo është pika e kulmit të parabolës. Nga veçimi i katrorit të binomit: $h = -5(t - 2.5)^2 + 81.25$.

      Lartësia më e madhe (maksimale) është $81.25$ metra dhe arrihet në kohën $t = 2.5$ sekonda.

   2. Kohën kur guri kalon nivelin e majës së shkëmbit, pasi ka nisur rënien:

      Niveli i majës së shkëmbit është lartësia fillestare, $h = 50$ metra. Nga grafiku, shohim se kjo ndodh në $t=0$ dhe përsëri kur guri është në rënie. Nga pikat e llogaritura më lart, kjo ndodh në $t = 5$ sekonda.

   3. Kohën kur guri bie në det:

      Guri bie në det kur lartësia $h = 0$. Nga llogaritjet e bëra në hapin 2, kjo ndodh në kohën $t = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \approx 6.53$ sekonda.