Pyetja
Një balonë me ajër u ndërtua duke përdorur bambu për brinjët dhe diagonalet dhe letër për velën. Kur u skicua në figurë, skajet e diagonales së madhe janë në pikat P (2, -2) dhe R (-14, -14) dhe diagonalet priten në pikën M. Diagonalja e vogël QS e ndan RP në raportin 3 : 1 dhe MP = MQ = MS.
Llogaritni:
- koordinatat e M;
- koordinatat e Q dhe S;
- ekuacionet e diagonaleve;
- ekuacionet e brinjëve të balonës;
- syprinën e letrës që u nevojitet për të bërë balonën;
- gjatësinë e të gjithë bambusë që u përdor për të bërë strukturën e balonës.
Zgjidhja
Pika M është pika e mesit e segmentit PR, sepse diagonalja e vogël QS e ndan RP në raportin 3:1 dhe MP = MQ = MS. Kjo do të thotë që M është qendra e rrethit që kalon nëpër P, Q, S. Në një balonë, diagonalet janë pingul dhe njëra prej tyre përgjysmon tjetrën. Këtu, diagonalja e madhe është PR, dhe M është mesi i saj.
Përdorim formulën e pikës së mesit:
$$M_x = \frac{x_P + x_R}{2}$$
$$M_y = \frac{y_P + y_R}{2}$$
Koordinatat e P janë $$(2, -2)$$ dhe R janë $$(-14, -14)$$.
$$M_x = \frac{2 + (-14)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$
$$M_y = \frac{-2 + (-14)}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$
Koordinatat e M janë $$(-6, -8)$$.
Gjatësia e PM:
$$PM = \sqrt{(M_x - P_x)^2 + (M_y - P_y)^2}$$
$$PM = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (-8 - (-2))^2}$$
$$PM = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2}$$
$$PM = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$
Meqenëse MP = MQ = MS, atëherë $$MQ = MS = 10$$.
Diagonalja e vogël QS është pingul me diagonalen e madhe PR dhe kalon nëpër M. Shpatja e PR ($$m_{PR}$$) është:
$$m_{PR} = \frac{y_R - y_P}{x_R - x_P} = \frac{-14 - (-2)}{-14 - 2} = \frac{-12}{-16} = \frac{3}{4}$$
Shpatja e QS ($$m_{QS}$$) është negativja reciproke e shpatjes së PR:
$$m_{QS} = -\frac{1}{m_{PR}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$$
Pika M ($$-6, -8$$) është qendra e segmentit QS. Gjatësia e MQ dhe MS është 10. Ne mund të gjejmë koordinatat e Q dhe S duke përdorur formulat parametrike ose duke ditur shpatjen dhe distancën.
Le të shënojmë koordinatat e Q si $$(x_Q, y_Q)$$ dhe S si $$(x_S, y_S)$$.
Ne kemi $$(x_Q - M_x)^2 + (y_Q - M_y)^2 = MQ^2$$
$$(x_Q - (-6))^2 + (y_Q - (-8))^2 = 10^2$$
$$(x_Q + 6)^2 + (y_Q + 8)^2 = 100$$
Gjithashtu, $$y_Q - (-8) = m_{QS}(x_Q - (-6))$$
$$y_Q + 8 = -\frac{4}{3}(x_Q + 6)$$
Zëvendësojmë $$(y_Q + 8)$$ në ekuacionin e parë:
$$(x_Q + 6)^2 + \left(-\frac{4}{3}(x_Q + 6)\right)^2 = 100$$
$$(x_Q + 6)^2 + \frac{16}{9}(x_Q + 6)^2 = 100$$
$$(x_Q + 6)^2 \left(1 + \frac{16}{9}\right) = 100$$
$$(x_Q + 6)^2 \left(\frac{9+16}{9}\right) = 100$$
$$(x_Q + 6)^2 \left(\frac{25}{9}\right) = 100$$
$$(x_Q + 6)^2 = 100 \cdot \frac{9}{25} = 4 \cdot 9 = 36$$
$$x_Q + 6 = \pm\sqrt{36}$$
$$x_Q + 6 = \pm 6$$
Për $$x_Q + 6 = 6 \implies x_Q = 0$$
$$y_Q + 8 = -\frac{4}{3}(0 + 6) = -\frac{4}{3}(6) = -8$$
$$y_Q = -16$$
Pra, Q është $$(0, -16)$$.
Për $$x_S + 6 = -6 \implies x_S = -12$$
$$y_S + 8 = -\frac{4}{3}(-12 + 6) = -\frac{4}{3}(-6) = 8$$
$$y_S = 0$$
Pra, S është $$(-12, 0)$$.
Koordinatat e Q janë $$(0, -16)$$ dhe S janë $$(-12, 0)$$.
Edhe 4 hapa deri te përgjigjja
Hapat e tjerë janë falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.