Zgjidhja e ushtrimit 2

Pika M është pika e mesit e segmentit PR, sepse diagonalja e vogël QS e ndan RP në raportin 3:1 dhe MP = MQ = MS. Kjo do të thotë që M është qendra e rrethit që kalon nëpër P, Q, S. Në një balonë, diagonalet janë pingul dhe njëra prej tyre përgjysmon tjetrën. Këtu, diagonalja e madhe është PR, dhe M është mesi i saj.

Përdorim formulën e pikës së mesit:

$$M_x = \frac{x_P + x_R}{2}$$

$$M_y = \frac{y_P + y_R}{2}$$

Koordinatat e P janë $$(2, -2)$$ dhe R janë $$(-14, -14)$$.

$$M_x = \frac{2 + (-14)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

$$M_y = \frac{-2 + (-14)}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Koordinatat e M janë $$(-6, -8)$$.

Gjatësia e PM:

$$PM = \sqrt{(M_x - P_x)^2 + (M_y - P_y)^2}$$

$$PM = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (-8 - (-2))^2}$$

$$PM = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2}$$

$$PM = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

Meqenëse MP = MQ = MS, atëherë $$MQ = MS = 10$$.

Diagonalja e vogël QS është pingul me diagonalen e madhe PR dhe kalon nëpër M. Shpatja e PR ($$m_{PR}$$) është:

$$m_{PR} = \frac{y_R - y_P}{x_R - x_P} = \frac{-14 - (-2)}{-14 - 2} = \frac{-12}{-16} = \frac{3}{4}$$

Shpatja e QS ($$m_{QS}$$) është negativja reciproke e shpatjes së PR:

$$m_{QS} = -\frac{1}{m_{PR}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$$

Pika M ($$-6, -8$$) është qendra e segmentit QS. Gjatësia e MQ dhe MS është 10. Ne mund të gjejmë koordinatat e Q dhe S duke përdorur formulat parametrike ose duke ditur shpatjen dhe distancën.

Le të shënojmë koordinatat e Q si $$(x_Q, y_Q)$$ dhe S si $$(x_S, y_S)$$.

Ne kemi $$(x_Q - M_x)^2 + (y_Q - M_y)^2 = MQ^2$$

$$(x_Q - (-6))^2 + (y_Q - (-8))^2 = 10^2$$

$$(x_Q + 6)^2 + (y_Q + 8)^2 = 100$$

Gjithashtu, $$y_Q - (-8) = m_{QS}(x_Q - (-6))$$

$$y_Q + 8 = -\frac{4}{3}(x_Q + 6)$$

Zëvendësojmë $$(y_Q + 8)$$ në ekuacionin e parë:

$$(x_Q + 6)^2 + \left(-\frac{4}{3}(x_Q + 6)\right)^2 = 100$$

$$(x_Q + 6)^2 + \frac{16}{9}(x_Q + 6)^2 = 100$$

$$(x_Q + 6)^2 \left(1 + \frac{16}{9}\right) = 100$$

$$(x_Q + 6)^2 \left(\frac{9+16}{9}\right) = 100$$

$$(x_Q + 6)^2 \left(\frac{25}{9}\right) = 100$$

$$(x_Q + 6)^2 = 100 \cdot \frac{9}{25} = 4 \cdot 9 = 36$$

$$x_Q + 6 = \pm\sqrt{36}$$

$$x_Q + 6 = \pm 6$$

Për $$x_Q + 6 = 6 \implies x_Q = 0$$

$$y_Q + 8 = -\frac{4}{3}(0 + 6) = -\frac{4}{3}(6) = -8$$

$$y_Q = -16$$

Pra, Q është $$(0, -16)$$.

Për $$x_S + 6 = -6 \implies x_S = -12$$

$$y_S + 8 = -\frac{4}{3}(-12 + 6) = -\frac{4}{3}(-6) = 8$$

$$y_S = 0$$

Pra, S është $$(-12, 0)$$.

Koordinatat e Q janë $$(0, -16)$$ dhe S janë $$(-12, 0)$$.

Ekuacioni i diagonales PR (kalon nëpër P$$(2, -2)$$ dhe R$$(-14, -14)$$):

Shpatja $$m_{PR} = \frac{3}{4}$$ (llogaritur më sipër).

Përdorim formën pikë-shpatje $$(y - y_1) = m(x - x_1)$$ me pikën P$$(2, -2)$$.

$$y - (-2) = \frac{3}{4}(x - 2)$$

$$y + 2 = \frac{3}{4}x - \frac{6}{4}$$

$$y + 2 = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$$

$$y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} - 2$$

$$y = \frac{3}{4}x - \frac{7}{2}$$

Ose në formë standarde (duke shumëzuar me 4):

$$4y = 3x - 14$$

$$3x - 4y - 14 = 0$$

Ekuacioni i diagonales QS (kalon nëpër Q$$(0, -16)$$ dhe S$$(-12, 0)$$):

Shpatja $$m_{QS} = -\frac{4}{3}$$ (llogaritur më sipër).

Përdorim formën pikë-shpatje $$(y - y_1) = m(x - x_1)$$ me pikën Q$$(0, -16)$$.

$$y - (-16) = -\frac{4}{3}(x - 0)$$

$$y + 16 = -\frac{4}{3}x$$

$$y = -\frac{4}{3}x - 16$$

Ose në formë standarde (duke shumëzuar me 3):

$$3y = -4x - 48$$

$$4x + 3y + 48 = 0$$

Balona ka katër brinjë: PQ, QR, RS, SP.

Pikat: P$$(2, -2)$$, Q$$(0, -16)$$, R$$(-14, -14)$$, S$$(-12, 0)$$.

Brinja PQ (P$$(2, -2)$$, Q$$(0, -16)$$):

$$m_{PQ} = \frac{-16 - (-2)}{0 - 2} = \frac{-14}{-2} = 7$$

$$y - (-2) = 7(x - 2)$$

$$y + 2 = 7x - 14$$

$$y = 7x - 16$$

$$7x - y - 16 = 0$$

Brinja QR (Q$$(0, -16)$$, R$$(-14, -14)$$):

$$m_{QR} = \frac{-14 - (-16)}{-14 - 0} = \frac{2}{-14} = -\frac{1}{7}$$

$$y - (-16) = -\frac{1}{7}(x - 0)$$

$$y + 16 = -\frac{1}{7}x$$

$$y = -\frac{1}{7}x - 16$$

$$7y = -x - 112$$

$$x + 7y + 112 = 0$$

Brinja RS (R$$(-14, -14)$$, S$$(-12, 0)$$):

$$m_{RS} = \frac{0 - (-14)}{-12 - (-14)} = \frac{14}{2} = 7$$

$$y - 0 = 7(x - (-12))$$

$$y = 7(x + 12)$$

$$y = 7x + 84$$

$$7x - y + 84 = 0$$

Brinja SP (S$$(-12, 0)$$, P$$(2, -2)$$):

$$m_{SP} = \frac{-2 - 0}{2 - (-12)} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$$

$$y - 0 = -\frac{1}{7}(x - (-12))$$

$$y = -\frac{1}{7}(x + 12)$$

$$7y = -x - 12$$

$$x + 7y + 12 = 0$$

Syprina e letrës është syprina e balonës. Balona është një katërkëndësh (deltoid) me diagonale pingule.

Formula e syprinës së balonës (deltoidit) është $$A = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, ku $$d_1$$ dhe $$d_2$$ janë gjatësitë e diagonaleve.

Gjatësia e PR ($$d_1$$):

$$PR = \sqrt{(-14 - 2)^2 + (-14 - (-2))^2}$$

$$PR = \sqrt{(-16)^2 + (-12)^2}$$

$$PR = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$

Gjatësia e QS ($$d_2$$):

$$MQ = 10$$ (llogaritur më sipër). Meqenëse M është pika e mesit e QS, $$QS = 2 \cdot MQ = 2 \cdot 10 = 20$$.

$$QS = \sqrt{(-12 - 0)^2 + (0 - (-16))^2}$$

$$QS = \sqrt{(-12)^2 + (16)^2}$$

$$QS = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$

Syprina e balonës:

$$A = \frac{1}{2} \cdot PR \cdot QS = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 400 = 200$$ njësi katrore.

Gjatësia e të gjithë bambusë është shuma e gjatësive të diagonaleve dhe brinjëve.

Gjatësia e diagonaleve: $$PR + QS = 20 + 20 = 40$$.

Gjatësia e brinjëve:

$$PQ = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-16 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

$$QR = \sqrt{(-14 - 0)^2 + (-14 - (-16))^2} = \sqrt{(-14)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

$$RS = \sqrt{(-12 - (-14))^2 + (0 - (-14))^2} = \sqrt{(2)^2 + (14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

$$SP = \sqrt{(2 - (-12))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(14)^2 + (-2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

Vërejmë se të gjitha brinjët janë të barabarta, që konfirmon se balona është në fakt një romb (pasi diagonalet e një rombi janë pingul dhe përgjysmojnë njëra-tjetrën).

Shuma e gjatësive të brinjëve: $$4 \cdot 10\sqrt{2} = 40\sqrt{2}$$.

Gjatësia totale e bambusë: $$40 + 40\sqrt{2} \approx 40 + 40 \cdot 1.414 = 40 + 56.56 = 96.56$$ njësi.