Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 8

Zgjidhja e ushtrimit 8 të mësimit 4.3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

Për secilin nga funksionet e mëposhtme:

  1. gjeni një shprehje për shpejtësinë e ndryshimit të yy në lidhje me xx;
  2. gjeni këtë shpejtësi ndryshimi, kur xx = 0;
  3. duke shprehur shpejtësinë e ndryshimit në ttrajtën dydx\frac{dy}{dx} = (xx + aa)2 + bb tregoni që funksionet janë rritëse për të gjitha vlerat e xx.


  1. yy = x33\frac{x^3}{3} + 5xx2 + 30xx + 1
  2. yy = x33\frac{x^3}{3} - 3xx2 + 12xx - 4
  3. yy = x33\frac{x^3}{3} - 52\frac{5}{2}xx2 + 8xx + 12\frac{1}{2}

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Për funksionin $y = \frac{x^3}{3} + 5x^2 + 30x + 1$

    1. Shpejtësia e ndryshimit të $y$ në lidhje me $x$ (derivati i parë):

      $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + 5x^2 + 30x + 1\right)$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{3} + 5(2x) + 30 + 0$$ $$\frac{dy}{dx} = x^2 + 10x + 30$$

    2. Shpejtësia e ndryshimit kur $x = 0$:

      $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = (0)^2 + 10(0) + 30 = 30$$

    3. Për të treguar që funksioni është rritës për të gjitha vlerat e $x$, duhet të tregojmë që $\frac{dy}{dx} > 0$ për të gjitha $x$.

      $$\frac{dy}{dx} = x^2 + 10x + 30$$ Plotësojmë katrorin: $$x^2 + 10x + 30 = (x^2 + 10x + 25) + 5 = (x+5)^2 + 5$$ Meqenëse $(x+5)^2 \ge 0$ për çdo $x$, atëherë $(x+5)^2 + 5 \ge 5$. Pra, $\frac{dy}{dx} \ge 5 > 0$ për të gjitha vlerat e $x$. Funksioni është rritës për të gjitha vlerat e $x$.

  2. Për funksionin $y = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 12x - 4$

    1. Shpejtësia e ndryshimit të $y$ në lidhje me $x$:

      $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 12x - 4\right)$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{3} - 3(2x) + 12 - 0$$ $$\frac{dy}{dx} = x^2 - 6x + 12$$

    2. Shpejtësia e ndryshimit kur $x = 0$:

      $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = (0)^2 - 6(0) + 12 = 12$$

    3. Për të treguar që funksioni është rritës për të gjitha vlerat e $x$:

      $$\frac{dy}{dx} = x^2 - 6x + 12$$ Plotësojmë katrorin: $$x^2 - 6x + 12 = (x^2 - 6x + 9) + 3 = (x-3)^2 + 3$$ Meqenëse $(x-3)^2 \ge 0$ për çdo $x$, atëherë $(x-3)^2 + 3 \ge 3$. Pra, $\frac{dy}{dx} \ge 3 > 0$ për të gjitha vlerat e $x$. Funksioni është rritës për të gjitha vlerat e $x$.

  3. Për funksionin $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 8x + \frac{1}{2}$

    1. Shpejtësia e ndryshimit të $y$ në lidhje me $x$:

      $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 8x + \frac{1}{2}\right)$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{3} - \frac{5}{2}(2x) + 8 + 0$$ $$\frac{dy}{dx} = x^2 - 5x + 8$$

    2. Shpejtësia e ndryshimit kur $x = 0$:

      $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = (0)^2 - 5(0) + 8 = 8$$

    3. Për të treguar që funksioni është rritës për të gjitha vlerat e $x$:

      $$\frac{dy}{dx} = x^2 - 5x + 8$$ Për të plotësuar katrorin: shtojmë dhe zbresim $(\frac{-5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. $$x^2 - 5x + 8 = \left(x^2 - 5x + \frac{25}{4}\right) + 8 - \frac{25}{4}$$ $$x^2 - 5x + 8 = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{32-25}{4}$$ $$x^2 - 5x + 8 = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$$ Meqenëse $\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0$ për çdo $x$, atëherë $\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}$. Pra, $\frac{dy}{dx} \ge \frac{7}{4} > 0$ për të gjitha vlerat e $x$. Funksioni është rritës për të gjitha vlerat e $x$.