Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 4

Zgjidhja e ushtrimit 4 të mësimit 4.8B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

Ekuacioni y=xy=\sqrt{x} paraqet vetëm njërin krah të parabolës me bosht simetrie y=0y=0.

  1. Njëhsoni ∫ydx\int ydx.
  2. Njehsoni syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti OxOx dhe drejtëzat x=0x=0 dhe x=1x=1.
  3. PP është syprina e zonës poshtë vijës, ndërmjet drejtëzave x=4x=4 dhe x=9x=9. Njehsoni raportin P:QP:Q.
  4. Njehsoni syprinën e zonës së kufizuar nga vija y=1+xy=1+\sqrt{x} boshti OxOx dhe drejtëzat x=0x=0 dhe x=1x=1. Shpjegoni ndryshesën ndërmjet përgjigjes së kërkesës (b).

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. ∫ydx=∫xdx\int ydx=\int\sqrt{x}dx =∫x12=\int x^{\frac{1}{2}}dxdx =x12+112+1dx=\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}dx == x3232dx\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}dx == 23x32\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ++ CC.
  2. ∫01\int_0^1 xdx\sqrt{x}dx = [23x32]01\Bigg[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigg]_0^1 == (23×132)\Bigg(\dfrac{2}{3}\times1^{\frac{3}{2}}\Bigg) −- (23×032)\Bigg(\dfrac{2}{3}\times0^{\frac{3}{2}}\Bigg) == 23×1−0\dfrac{2}{3}\times1-0 =23=\dfrac{2}{3} njësi katrorë.
  3. P=∫14P=\int_1^4 xdx\sqrt{x}dx == [23x32]14\Bigg[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigg]_1^4 == (23×432)\Bigg(\dfrac{2}{3}\times4^{\frac{3}{2}}\Bigg) −- (\Bigg( 23×132)\dfrac{2}{3}\times1^{\frac{3}{2}}\Bigg) == (23×43)\Bigg(\dfrac{2}{3}\times\sqrt{4^3}\Bigg) −- 23\dfrac{2}{3} == (23×64)\Bigg(\dfrac{2}{3}\times\sqrt{64}\Bigg) −23-\dfrac{2}{3} == 23×8\dfrac{2}{3}\times8 −23-\dfrac{2}{3} == 163−23=\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}= 143\dfrac{14}{3} njësi katrorë. Tani gjejmë syprinën e zonës QQ ⇒\rArr Q=∫49Q=\int_4^9 xdx\sqrt{x}dx == [23x32]49\Bigg[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigg]_4^9 == (\Bigg( 23×93)\dfrac{2}{3}\times\sqrt{9^3}\Bigg) −- 163\dfrac{16}{3} == (23×729)\Bigg(\dfrac{2}{3}\times\sqrt{729}\Bigg) −- 163\dfrac{16}{3} == 23×27\dfrac{2}{3}\times27 −163-\dfrac{16}{3} == 543−163=\dfrac{54}{3}-\dfrac{16}{3}= 383\dfrac{38}{3} njësi katrorë. Raporti midis PP dhe QQ është ⇒\rArr P:Q=143:383P:Q=\dfrac{14}{3}:\dfrac{38}{3} == 7:197:19.
  4. ∫01\int_0^1 1+xdx1+\sqrt{x}dx == [\Bigg[ x+23x32]01x+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigg]_0^1 == (\Bigg( 1+23×132)1+\dfrac{2}{3}\times1^{\frac{3}{2}}\Bigg) −- (\Bigg( 0+23×032)0+\dfrac{2}{3}\times0^{\frac{3}{2}}\Bigg) == 1+23−01+\dfrac{2}{3}-0 =3+23=53=\dfrac{3+2}{3}=\dfrac{5}{3} ose 1231\dfrac{2}{3} njësi katrorë. Ndryshimi është se syprina e kësaj zone është 1 njësi katrore më e madhe se ajo e kërkesës b. 1 njësi përgjatë boshtit OxOx dhe 1 përgjatë boshtit OyOy.