Zgjidhja e ushtrimit 10

Zgjidhja e ushtrimit 10 të mësimit 5.1B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Mësimi

Ushtrimi

Pyetja

Vërtetoni që $\log_ab = \dfrac{1}{\log_b a}$ .
Zgjidhni ekuacionet. i) $\log_5 x = 4 \log_x 5$ ii) $\log_3x + 8\log_x 3 =6$

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

Le të jetë $y=\log_a b$ në mënyrë që $b=a^y$ . Tani do kishim $\log_b b = \log_b (a^y) \rArr 1 = y\log_b a \rArr 1 = \log_a b \times \log_b a$ , kështu që $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ .
i) Nga përfundimi që nxorrëm më lart do kishim $\log_x5 = \dfrac{1}{\log_5x}$ , pra $\log_x5 = \dfrac{4}{\log_5x} \rArr (\log_5x)^2 = 4 \rArr \log_5x = \pm \sqrt{4} \rArr x=5^{\pm2} \rArr x=5$ ose $x=\dfrac{1}{25}$ ; ii) Nga përfundimi që nxorrëm më lart do kishim $\log_x3 = \dfrac{1}{\log_3x}$ , pra $\log_3x + \dfrac{8}{\log_3x} = 6 \rArr (\log_3x)^2+8=6 \log_3x \rArr (\log_3x)^2-6\log_3x+8=0$ . Le të jetë $u=\log_3x$ dhe kemi $u^2-6u+8=0 \rArr (u-2)(u-4)=0 \rArr u=2$ ose $u=4$ . Kur $u=2$ kemi $\log_3x=2 \rArr x=3^2 \rArr x=9$ . Kur $u=4$ kemi $\log_3x=4 \rArr x=3^4 \rArr x=81$ .