Zgjidhja e ushtrimit 2

Për të gjetur vlerën e $A$, përdorim të dhënën se kur $t=0$, $p=5$.

Zëvendësojmë $t=0$ dhe $p=5$ në formulën $p = 2 + Ae^{\frac{1}{26}t}$:

$$5 = 2 + Ae^{\frac{1}{26}(0)}$$

$$5 = 2 + Ae^0$$

$$5 = 2 + A(1)$$

$$A = 5 - 2$$

$$A = 3$$

Formula bëhet: $$p = 2 + 3e^{\frac{1}{26}t}$$

Plotësojmë tabelën duke zëvendësuar vlerat e $t$:

• Për $t=20$: $p = 2 + 3e^{\frac{20}{26}} \approx 2 + 3(2.164) \approx 8.49$
• Për $t=40$: $p = 2 + 3e^{\frac{40}{26}} \approx 2 + 3(4.685) \approx 16.06$
• Për $t=60$: $p = 2 + 3e^{\frac{60}{26}} \approx 2 + 3(10.158) \approx 32.47$
• Për $t=80$: $p = 2 + 3e^{\frac{80}{26}} \approx 2 + 3(22.026) \approx 68.08$
• Për $t=100$: $p = 2 + 3e^{\frac{100}{26}} \approx 2 + 3(47.79) \approx 145.37$

Tabela e plotësuar:

$t$	0	20	40	60	80	100
$n$	5	11	25	60	140	265
$p$	5	8.49	16.06	32.47	68.08	145.37

Numri fillestar i baktereve (kur $t=0$) sipas modelit është $p=5$.

Trefishimi i këtij numri është $3 \times 5 = 15$.

Njehsojmë $t$ kur $p=15$ duke përdorur formulën $p = 2 + 3e^{\frac{1}{26}t}$:

$$15 = 2 + 3e^{\frac{1}{26}t}$$

$$13 = 3e^{\frac{1}{26}t}$$

$$\frac{13}{3} = e^{\frac{1}{26}t}$$

Marrim logaritmin natyror të të dyja anëve:

$$\ln\left(\frac{13}{3}\right) = \frac{1}{26}t$$

$$t = 26 \ln\left(\frac{13}{3}\right)$$

$$t \approx 26 \times 1.466$$

$$t \approx 38.1 \text{ orë}$$

Për vizatimin e grafikëve:

• Vizatoni një sistem koordinativ me boshtin horizontal $t$ (kohën në orë) dhe boshtin vertikal (numrin e baktereve).
• Për grafikun e $n$: Vendosni pikat nga rreshti i dytë i tabelës ($t, n$): $(0,5), (20,11), (40,25), (60,60), (80,140), (100,265)$. Lidhini këto pika me një vijë të lëmuar.
• Për grafikun e $p$: Vendosni pikat nga rreshti i tretë i tabelës ($t, p$): $(0,5), (20,8.49), (40,16.06), (60,32.47), (80,68.08), (100,145.37)$. Lidhini këto pika me një vijë të lëmuar.

Saktesia e modelit:

• Në $t=0$, modeli është i saktë ($p=5$ dhe $n=5$).
• Megjithatë, për $t > 0$, vlerat e $p$ janë vazhdimisht më të ulëta se vlerat përkatëse të $n$. Diferenca rritet me rritjen e $t$. Për shembull, në $t=100$, $n=265$ ndërsa $p \approx 145.37$.
• Kjo tregon se modeli nënvlerëson ndjeshëm numrin e baktereve pas $t=0$ dhe rritja faktike e baktereve është shumë më e shpejtë se ajo e parashikuar nga modeli. Pra, modeli nuk është shumë i saktë në përshkrimin e rritjes faktike.

Mangësitë e modelit:

• Modeli nuk kap shpejtësinë aktuale të rritjes së popullatës.
• Bëhet gjithnjë e më pak i saktë me kalimin e kohës, pasi diferenca midis vlerave të vëzhguara ($n$) dhe atyre të modelit ($p$) rritet.
• Nuk pasqyron plotësisht dinamikën e rritjes së baktereve, e cila mund të ndikohet nga faktorë të tjerë si burimet e kufizuara ose mbeturinat, të cilat mund të ndryshojnë shkallën e rritjes.

Shpejtësia e rritjes jepet nga derivati i $p$ në lidhje me $t$, pra $\frac{dp}{dt}$.

Formula e modelit: $$p = 2 + 3e^{\frac{1}{26}t}$$

Njehsojmë derivatin:

$$\frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2 + 3e^{\frac{1}{26}t}\right)$$

$$\frac{dp}{dt} = 0 + 3 \times \frac{1}{26} e^{\frac{1}{26}t}$$

$$\frac{dp}{dt} = \frac{3}{26} e^{\frac{1}{26}t}$$

Zëvendësojmë $t=40$ në shprehjen e shpejtësisë së rritjes:

$$\frac{dp}{dt}\Big|_{t=40} = \frac{3}{26} e^{\frac{40}{26}}$$

$$\frac{dp}{dt}\Big|_{t=40} = \frac{3}{26} e^{\frac{20}{13}}$$

Duke ditur që $e^{\frac{20}{13}} \approx 4.685$ nga pjesa 1:

$$\frac{dp}{dt}\Big|_{t=40} \approx \frac{3}{26} \times 4.685$$

$$\frac{dp}{dt}\Big|_{t=40} \approx \frac{14.055}{26}$$

$$\frac{dp}{dt}\Big|_{t=40} \approx 0.54 \text{ baktere/orë}$$