Zgjidhja e ushtrimit 4
Zgjidhja e ushtrimit 4 të mësimit 5.3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.
Pyetja
Pemët e një pylli janë infektuar nga një sëmundje. Numri i pemëve të sëmura është vrojtuar gjatë viteve dhe modeluar me anë të formulës = 200 - .
- Gjeni vlerën e , në qoftë se, pas 10 vjetësh, numri i pemëve të sëmura është 91.
- Sa është numri fillestar i pemëve të sëmura dhe shpejtësia fillestare e përhapjes së sëmundjes?
- Për sa kohë numri fillestar i pemëve të sëmura trefishohet?
- Shpjegoni pse modeli parashikon një kufi të numrit të pemëve të sëmura dhe tregoni vlerën e tij.
Zgjidhja
Zgjidhje:
-
Për të gjetur vlerën e $A$, përdorim të dhënat e dhëna: kur $t = 10$ vjet, $N = 91$. Zëvendësojmë këto vlera në formulën e dhënë:
$$N = 200 - Ae^{-\frac{1}{20}t}$$ $$91 = 200 - Ae^{-\frac{1}{20}(10)}$$ $$91 = 200 - Ae^{-\frac{1}{2}}$$ $$Ae^{-0.5} = 200 - 91$$ $$Ae^{-0.5} = 109$$ $$A = \frac{109}{e^{-0.5}}$$ $$A = 109e^{0.5}$$ $$A \approx 109 \times 1.6487$$ $$A \approx 179.7183$$Kështu, $A \approx 180$ (duke rrumbullakosur në numrin e plotë më të afërt, ose duke ruajtur vlerën e saktë $109e^{0.5}$).
-
Numri fillestar i pemëve të sëmura është kur $t=0$. Zëvendësojmë $t=0$ dhe $A = 109e^{0.5}$ në formulë:
$$N(0) = 200 - Ae^{-\frac{1}{20}(0)}$$ $$N(0) = 200 - Ae^0$$ $$N(0) = 200 - A$$ $$N(0) = 200 - 109e^{0.5}$$ $$N(0) \approx 200 - 179.7183$$ $$N(0) \approx 20.2817$$Numri fillestar i pemëve të sëmura është përafërsisht 20.
Për të gjetur shpejtësinë fillestare të përhapjes së sëmundjes, duhet të gjejmë derivatin e $N$ në lidhje me $t$, dhe më pas ta vlerësojmë në $t=0$.
$$N = 200 - Ae^{-\frac{1}{20}t}$$ $$\frac{dN}{dt} = \frac{d}{dt}(200 - Ae^{-\frac{1}{20}t})$$ $$\frac{dN}{dt} = 0 - A \left(-\frac{1}{20}\right)e^{-\frac{1}{20}t}$$ $$\frac{dN}{dt} = \frac{A}{20}e^{-\frac{1}{20}t}$$Shpejtësia fillestare ($t=0$):
$$\frac{dN}{dt}\Big|_{t=0} = \frac{A}{20}e^{-\frac{1}{20}(0)}$$ $$\frac{dN}{dt}\Big|_{t=0} = \frac{A}{20}e^0$$ $$\frac{dN}{dt}\Big|_{t=0} = \frac{A}{20}$$Zëvendësojmë vlerën e $A$:
$$\frac{dN}{dt}\Big|_{t=0} = \frac{109e^{0.5}}{20}$$ $$\frac{dN}{dt}\Big|_{t=0} \approx \frac{179.7183}{20}$$ $$\frac{dN}{dt}\Big|_{t=0} \approx 8.9859$$Shpejtësia fillestare e përhapjes së sëmundjes është rreth 9 pemë në vit.
-
Numri fillestar i pemëve të sëmura është $N(0) = 200 - A$. Duam të gjejmë kohën $t$ kur numri i pemëve të sëmura trefishohet, pra $N(t) = 3 \times N(0)$.
$$200 - Ae^{-\frac{1}{20}t} = 3(200 - A)$$ $$200 - Ae^{-\frac{1}{20}t} = 600 - 3A$$ $$Ae^{-\frac{1}{20}t} = 200 - (600 - 3A)$$ $$Ae^{-\frac{1}{20}t} = 3A - 400$$ $$e^{-\frac{1}{20}t} = \frac{3A - 400}{A}$$ $$e^{-\frac{1}{20}t} = 3 - \frac{400}{A}$$Zëvendësojmë $A = 109e^{0.5}$:
$$e^{-\frac{1}{20}t} = 3 - \frac{400}{109e^{0.5}}$$ $$e^{-\frac{1}{20}t} \approx 3 - \frac{400}{179.7183}$$ $$e^{-\frac{1}{20}t} \approx 3 - 2.2256$$ $$e^{-\frac{1}{20}t} \approx 0.7744$$Marrim logaritmin natyror nga të dyja anët:
$$-\frac{1}{20}t = \ln(0.7744)$$ $$-\frac{1}{20}t \approx -0.2556$$ $$t \approx -0.2556 \times (-20)$$ $$t \approx 5.112$$Numri fillestar i pemëve të sëmura trefishohet për rreth 5.1 vjet.
-
Modeli parashikon një kufi të numrit të pemëve të sëmura sepse termi $Ae^{-\frac{1}{20}t}$ i afrohet 0 kur $t \to \infty$.
$$\lim_{t \to \infty} N = \lim_{t \to \infty} (200 - Ae^{-\frac{1}{20}t})$$Kur $t$ bëhet shumë i madh, $e^{-\frac{1}{20}t}$ bëhet shumë i vogël, duke u afruar 0.
$$\lim_{t \to \infty} e^{-\frac{1}{20}t} = 0$$Prandaj,
$$\lim_{t \to \infty} N = 200 - A(0)$$ $$\lim_{t \to \infty} N = 200$$Vlera e kufirit është 200 pemë. Kjo do të thotë se numri i pemëve të sëmura nuk do të kalojë kurrë 200, pavarësisht sa kohë kalon.