Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 5

Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 5.3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

Një bllok çeliku nxirret nga furra e nxehtë dhe ftohet. Temperatura e tij θ°C\theta \degree C, jepet me anë të formulës θ\theta  = cc + 500e−0,005te^{-0,005t}, tt minuta pas nxjerrjes nga furra.

  1. Në qoftë se çeliku nxirret nga furra në 530°C\degree C, sa kohë duhet që temperatura e tij të zbresë në 100°C\degree C?
  2. Njehsoni shpejtësinë e rënies së temperaturës, kur tt = 20.
  3. Shpjegoni pse modeli parashikon një temperaturë minimale nën të cilën çeliku nuk ftohet? Tregoni vlerën e saj.
  4. Pse mund të jetë i papërshtatshëm ky model?

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

Zgjidhje:

  1. Gjejmë $c$ kur $t=0$ dhe $\theta = 530$.

    $$\theta = c + 500e^{-0,005t}$$ $$530 = c + 500e^0$$ $$530 = c + 500$$ $$c = 30$$

    Formula bëhet $\theta = 30 + 500e^{-0,005t}$.

    Gjejmë $t$ kur $\theta = 100$.

    $$100 = 30 + 500e^{-0,005t}$$ $$70 = 500e^{-0,005t}$$ $$e^{-0,005t} = \frac{70}{500} = \frac{7}{50} = 0,14$$ $$\ln(e^{-0,005t}) = \ln(0,14)$$ $$-0,005t = \ln(0,14)$$ $$t = \frac{\ln(0,14)}{-0,005} \approx \frac{-1,966}{-0,005} \approx 393,2$$

    Duhen rreth 393,2 minuta.

  2. Gjejmë derivatin e $\theta$ në lidhje me $t$ për të gjetur shpejtësinë e rënies së temperaturës:

    $$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(30 + 500e^{-0,005t})$$ $$\frac{d\theta}{dt} = 0 + 500 \cdot (-0,005)e^{-0,005t}$$ $$\frac{d\theta}{dt} = -2,5e^{-0,005t}$$

    Njehsojmë $\frac{d\theta}{dt}$ kur $t = 20$:

    $$\frac{d\theta}{dt} = -2,5e^{-0,005 \cdot 20}$$ $$\frac{d\theta}{dt} = -2,5e^{-0,1}$$ $$\frac{d\theta}{dt} \approx -2,5 \cdot 0,9048 \approx -2,262$$

    Shpejtësia e rënies së temperaturës kur $t=20$ është rreth $-2,262 \degree C/\text{min}$.

  3. Modeli është $\theta = 30 + 500e^{-0,005t}$. Kur $t \to \infty$, $e^{-0,005t} \to 0$.

    Pra, $\lim_{t \to \infty} \theta = 30 + 500 \cdot 0 = 30$.

    Temperatura minimale e parashikuar nga modeli është $30 \degree C$. Kjo është temperatura e mjedisit rrethues, nën të cilën blloku nuk mund të ftohet më tej.

  4. Ky model mund të jetë i papërshtatshëm sepse:

    • Nuk merr parasysh faktorët e mjedisit, si rrymat e ajrit ose ndryshimet e temperaturës së dhomës.
    • Supozon se mjedisi rrethues ka një temperaturë konstante ($30 \degree C$), gjë që mund të mos jetë gjithmonë e vërtetë.
    • Mund të mos jetë i saktë për periudha shumë të gjata kohore ose për temperatura ekstreme.