Pyetja
Një bllok çeliku nxirret nga furra e nxehtë dhe ftohet. Temperatura e tij , jepet me anë të formulës = + 500, minuta pas nxjerrjes nga furra.
- Në qoftë se çeliku nxirret nga furra në 530, sa kohë duhet që temperatura e tij të zbresë në 100?
- Njehsoni shpejtësinë e rënies së temperaturës, kur = 20.
- Shpjegoni pse modeli parashikon një temperaturë minimale nën të cilën çeliku nuk ftohet? Tregoni vlerën e saj.
- Pse mund të jetë i papërshtatshëm ky model?
Zgjidhja
1
Gjejmë $c$ kur $t=0$ dhe $\theta = 530$.
$$\theta = c + 500e^{-0,005t}$$ $$530 = c + 500e^0$$ $$530 = c + 500$$ $$c = 30$$
Formula bëhet $\theta = 30 + 500e^{-0,005t}$.
Gjejmë $t$ kur $\theta = 100$.
$$100 = 30 + 500e^{-0,005t}$$ $$70 = 500e^{-0,005t}$$ $$e^{-0,005t} = \frac{70}{500} = \frac{7}{50} = 0,14$$ $$\ln(e^{-0,005t}) = \ln(0,14)$$ $$-0,005t = \ln(0,14)$$ $$t = \frac{\ln(0,14)}{-0,005} \approx \frac{-1,966}{-0,005} \approx 393,2$$
Duhen rreth 393,2 minuta.
2
Gjejmë derivatin e $\theta$ në lidhje me $t$ për të gjetur shpejtësinë e rënies së temperaturës:
$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(30 + 500e^{-0,005t})$$ $$\frac{d\theta}{dt} = 0 + 500 \cdot (-0,005)e^{-0,005t}$$ $$\frac{d\theta}{dt} = -2,5e^{-0,005t}$$
Njehsojmë $\frac{d\theta}{dt}$ kur $t = 20$:
$$\frac{d\theta}{dt} = -2,5e^{-0,005 \cdot 20}$$ $$\frac{d\theta}{dt} = -2,5e^{-0,1}$$ $$\frac{d\theta}{dt} \approx -2,5 \cdot 0,9048 \approx -2,262$$
Shpejtësia e rënies së temperaturës kur $t=20$ është rreth $-2,262 \degree C/\text{min}$.
Edhe 4 hapa deri te përgjigjja
Hapat e tjerë janë falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
4.8/5100,000+ shkarkimePa pagesë, gjithmonë
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.