Zgjidhja e ushtrimit 6
Zgjidhja e ushtrimit 6 të mësimit 5.3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.
Pyetja
Një bimë e rrallë është vrojtuar për një kohë të gjatë. Popullata e saj, pas vitesh nga fillimi i vrojtimit, është modeluar me formulën , ku dhe janë konstante pozitive.
- Fillimisht, ishin 250 bimë dhe pas 4 vjetësh u bënë 528 bimë. Njehsoni vlerën e dhe të .
- Tregoni që, sipas këtij modeli, popullata nuk mund të kalojë një numër të caktuar dhe llogariteni këtë numër.
Zgjidhja
1. Gjejmë vlerat e A dhe k:
- Kur $t = 0$, $n = 250$:
- Kur $t = 4$, $n = 528$:
- Zëvendësojmë $A$ nga ekuacioni i parë në të dytin:
- Gjejmë A:
- Pra, $A \approx 1496.75$ dhe $k \approx 4.987$.
$$250 = \frac{Ae^{\frac{1}{4}(0)}}{e^{\frac{1}{4}(0)} + k} = \frac{A}{1 + k}$$
$$A = 250(1 + k)$$
$$528 = \frac{Ae^{\frac{1}{4}(4)}}{e^{\frac{1}{4}(4)} + k} = \frac{Ae}{e + k}$$
$$528 = \frac{250(1 + k)e}{e + k}$$
$$528(e + k) = 250e(1 + k)$$
$$528e + 528k = 250e + 250ek$$
$$528k - 250ek = 250e - 528e$$
$$k(528 - 250e) = -278e$$
$$k = \frac{-278e}{528 - 250e} = \frac{278e}{250e - 528}$$
$$k \approx \frac{278 \times 2.718}{250 \times 2.718 - 528} \approx \frac{755.5}{679.5 - 528} \approx \frac{755.5}{151.5} \approx 4.987$$
$$A = 250(1 + k) = 250(1 + 4.987) = 250(5.987) \approx 1496.75$$
2. Gjejmë limitin e popullatës:
$$n = \frac{Ae^{\frac{1}{4}t}}{e^{\frac{1}{4}t} + k}$$
Si $t \to \infty$, $e^{\frac{1}{4}t} \to \infty$. Atëherë:
$$\lim_{t \to \infty} n = \lim_{t \to \infty} \frac{Ae^{\frac{1}{4}t}}{e^{\frac{1}{4}t} + k} = \lim_{t \to \infty} \frac{A}{1 + \frac{k}{e^{\frac{1}{4}t}}} = \frac{A}{1 + 0} = A$$
Pra, popullata nuk mund të kalojë vlerën e $A$, e cila është afërsisht $1496.75$.