Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 2

Zgjidhja e ushtrimit 2 të mësimit 6.1B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

Në trekëndëshin e dhënë në figurë, pikat D dhe E janë përkatësisht meset e BC dhe AC. Pika G ndodhet në AD dhe AG është sa dyfishi i GD. Le të jetë AB→=p→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{p} dhe AC→=q→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{q}. Tregoni që B, G, E janë në një vijë të drejtë dhe gjeni raportin BG : GE.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→=q→−p→⇒BD→=12(q→−p→)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p} \rArr \overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})

AD→=AB→+BD→=p→+12(q→−p→)=p→+12q→−12p→=12p→+12q→=12(p→+q→)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})=\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{q}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{p}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{q}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})

AG→=23AD→=23×12(p→+q→)=13(p→+q→)\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{\cancel2}{3}\times \dfrac{1}{\cancel2}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})

BG→=BA→+AG→=−p→+13(p→+q→)=−p→+13p→+13q→=−23p→+13q→=13(q→−2p→)\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})=-\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{q}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{p}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{q}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{q}-2\overrightarrow{p}), por BE→=12q→−p→=12(q→−2p→)\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{q}-2\overrightarrow{p}), e cila jep BG→=23BE→\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BE}, që do të thotë se BG→\overrightarrow{BG} dhe BE→\overrightarrow{BE} janë kolineare, dhe raporti BG:GE=2:1\text{BG} : \text{GE} = 2 : 1.