Zgjidhja e ushtrimit 1
Zgjidhja e ushtrimit 1 të mësimit 7.3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.
Pyetja
Një doktor hulumtoi rreth mbipeshës së njerëzve në zonën e tij. Ai mbajti shënim masën (në kg) të 1000 pacientë dhe krijoi nnjë grafik me kuti. Pacienti më i lehtë peshon 5 kg.
- Një pacient zgjidhet në mënyrë të rastësiishme. Vlerësoni probabilitetin që pacienti peshon: i) më shumë se 45 kg; ii) më pak se 90 kg.
- Dy masat më të mëdha janë 360 kg dhe 165 kg, por më vonë u vendos që masa prej 360 kg të konsiderohej si një vlerë e jashtëndodhur. Në qoftë se kjo e dhënë hiqet, si do të ndryshojë grafiku me kuti?
Zgjidhja
-
Vlerat nga grafiku me kuti:
- Masa minimale: $5 \text{ kg}$
- Kuartili i parë (Q1): $45 \text{ kg}$
- Mediana (Q2): $60 \text{ kg}$
- Kuartili i tretë (Q3): $120 \text{ kg}$
- Masa maksimale: $360 \text{ kg}$
i) Probabiliteti që pacienti peshon më shumë se $45 \text{ kg}$:
Meqenëse $45 \text{ kg}$ është Kuartili i Parë (Q1), kjo nënkupton që $25\%$ e pacientëve peshojnë $45 \text{ kg}$ ose më pak. Prandaj, $75\%$ e pacientëve peshojnë më shumë se $45 \text{ kg}$.
$$ P(masa > 45 \text{ kg}) = 0.75 $$
ii) Probabiliteti që pacienti peshon më pak se $90 \text{ kg}$:
Mediana (Q2) është $60 \text{ kg}$, që do të thotë $50\%$ e pacientëve peshojnë më pak se $60 \text{ kg}$.
Kuartili i Tretë (Q3) është $120 \text{ kg}$, që do të thotë $75\%$ e pacientëve peshojnë më pak se $120 \text{ kg}$.
Vlera $90 \text{ kg}$ bie në mes të Q2 ($60 \text{ kg}$) dhe Q3 ($120 \text{ kg}$).
Intervali midis Q2 dhe Q3 përmban $25\%$ të të dhënave. Vlera $90 \text{ kg}$ është saktësisht në mes të $60 \text{ kg}$ dhe $120 \text{ kg}$ (sepse $90 - 60 = 30$ dhe $120 - 90 = 30$). Prandaj, përafërsisht gjysma e $25\%$ të të dhënave bie midis $60 \text{ kg}$ dhe $90 \text{ kg}$, që është $12.5\%$.
Probabiliteti i përgjithshëm është shuma e probabilitetit deri në Q2 dhe probabilitetit nga Q2 deri në $90 \text{ kg}$:
$$ P(masa < 90 \text{ kg}) = P(masa < 60 \text{ kg}) + P(60 \text{ kg} < masa < 90 \text{ kg}) $$
$$ P(masa < 90 \text{ kg}) = 0.50 + 0.125 = 0.625 $$
-
Nëse masa prej $360 \text{ kg}$ (që është vlera maksimale aktuale) konsiderohet si vlerë e jashtëndodhur dhe hiqet, atëherë:
- Pika maksimale e mustaqes së djathtë në grafik do të ndryshojë nga $360 \text{ kg}$ në $165 \text{ kg}$.
- Mustaqja e djathtë do të shkurtohet ndjeshëm, duke përfunduar në $165 \text{ kg}$.
- Vlerat e tjera të kutisë (Q1, Mediana, Q3) dhe pika minimale nuk priten të ndryshojnë në mënyrë të dukshme, pasi heqja e një vlere të vetme ekstreme nga $1000$ të dhëna ka ndikim minimal në kuartile.