Zgjidhja e ushtrimit 4

a)

Jepet funksioni $y = x(2x^2 - 5x)$. Fillimisht, e thjeshtojmë këtë shprehje:

$$y = 2x^3 - 5x^2$$

Për të gjetur shpejtësinë e ndryshimit të $y$ në lidhje me $x$, ne duhet të gjejmë derivatin e parë të $y$ në lidhje me $x$, pra $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2)$$$$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot 3x^{3-1} - 5 \cdot 2x^{2-1}$$$$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 10x$$

Tani, zëvendësojmë $x = 4$ në shprehjen e derivatit:

$$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=4} = 6(4)^2 - 10(4)$$$$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=4} = 6(16) - 40$$$$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=4} = 96 - 40$$$$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=4} = 56$$

Shpejtësia e ndryshimit të $y$ në lidhje me $x$ kur $x=4$ është $56$. Kjo do të thotë se për një rritje të vogël të $x$-it, $y$ rritet rreth $56$ herë më shpejt se $x$.

b)

Jepet formula e vëllimit $V = 25 \pi r^2$.

Për të njehsuar shpejtësinë e ndryshimit të vëllimit në lidhje me rrezen, duhet të gjejmë derivatin e $V$ në lidhje me $r$, pra $\frac{dV}{dr}$:

$$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(25 \pi r^2)$$$$\frac{dV}{dr} = 25 \pi \cdot 2r^{2-1}$$$$\frac{dV}{dr} = 50 \pi r$$

Tani, zëvendësojmë $r = 3$ cm në shprehjen e derivatit:

$$\frac{dV}{dr}\Big|_{r=3} = 50 \pi (3)$$$$\frac{dV}{dr}\Big|_{r=3} = 150 \pi$$

Shpejtësia e ndryshimit të vëllimit kur rrezja është $3$ cm është $150 \pi$ cm$^3$ për cm. Kjo tregon se vëllimi rritet me $150 \pi$ herë më shpejt se rrezja në atë pikë.

c)

Jepet largesa $D(t) = t^2 - 5t + 1$.

1. Shpejtësia (velociteti) është derivati i parë i largësisë në lidhje me kohën, $v(t) = \frac{dD}{dt}$.

   $$v(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 5t + 1)$$ $$v(t) = 2t - 5$$

   Tani gjejmë shpejtësinë në çastin $t = 3$ sekonda:

   $$v(3) = 2(3) - 5$$ $$v(3) = 6 - 5$$ $$v(3) = 1 \text{ cm/s}$$

   Shpejtësia e grimcës në $t=3$ sekonda është $1$ cm/s. Kjo do të thotë se në atë çast, grimca lëviz $1$ cm në çdo sekondë.

2. Nxitimi është derivati i parë i shpejtësisë (ose derivati i dytë i largësisë) në lidhje me kohën, $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2D}{dt^2}$.

   $$a(t) = \frac{d}{dt}(2t - 5)$$ $$a(t) = 2 \text{ cm/s}^2$$

   Nxitimi i grimcës në çdo çast, përfshirë $t=3$ sekonda, është $2$ cm/s$^2$. Nxitimi konstant $2$ cm/s$^2$ tregon se shpejtësia e grimcës rritet me $2$ cm/s çdo sekondë.

d)

Jepet formula $K = \sqrt{\frac{hD}{1000}}$, ku $D=12742$ km për Tokën. Zëvendësojmë $D$ në formulë:

$$K = \sqrt{\frac{12742h}{1000}}$$$$K = \sqrt{12.742h}$$

Për të thjeshtuar derivimin, e shkruajmë si:

$$K = (12.742h)^{1/2}$$

Për të gjetur shpejtësinë e ndryshimit të largesës së shikimit $K$ në lidhje me lartësinë $h$, ne duhet të gjejmë derivatin $\frac{dK}{dh}$:

$$\frac{dK}{dh} = \frac{1}{2} (12.742h)^{-1/2} \cdot 12.742$$$$\frac{dK}{dh} = \frac{12.742}{2\sqrt{12.742h}}$$$$\frac{dK}{dh} = \frac{6.371}{\sqrt{12.742h}}$$

1. Njehsoni shpejtësinë e ndryshimit të $K$ kur lartësia $h$ është:

   1) Kur $h = 50$ m. (Kujdes, $h$ është në metra, $D$ në kilometra. Krijoni njësitë konsistente.) Vini re se $K$ jepet në km kur $h$ është në metra dhe $D$ në km. Pra, nuk ka nevojë për konvertim.

   $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} = \frac{6.371}{\sqrt{12.742 \cdot 50}}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} = \frac{6.371}{\sqrt{637.1}}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} \approx \frac{6.371}{25.2408}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} \approx 0.2524 \text{ km/m}$$

   Kur lartësia është $50$ m, largesa e shikimit ndryshon me rreth $0.2524$ km për çdo metër lartësi.

   2) Kur $h = 100$ m.

   $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=100} = \frac{6.371}{\sqrt{12.742 \cdot 100}}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=100} = \frac{6.371}{\sqrt{1274.2}}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=100} \approx \frac{6.371}{35.7001}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=100} \approx 0.1785 \text{ km/m}$$

   Kur lartësia është $100$ m, largesa e shikimit ndryshon me rreth $0.1785$ km për çdo metër lartësi.

2. Duam të gjejmë $h$ kur $\frac{dK}{dh} = 0.4$ km/m.

   $$0.4 = \frac{6.371}{\sqrt{12.742h}}$$

   Ngrejmë të dyja anët në katror pas rirregullimit:

   $$\sqrt{12.742h} = \frac{6.371}{0.4}$$ $$\sqrt{12.742h} = 15.9275$$ $$(12.742h) = (15.9275)^2$$ $$12.742h = 253.6823$$ $$h = \frac{253.6823}{12.742}$$ $$h \approx 19.908 \text{ m}$$

   Ajo do të jetë në një lartësi prej rreth $19.91$ metrash kur largesa e shikimit të saj ndryshon me $0.4$ km/m.

3. Për Hënën, $D = 3474$ km.

   Formula e largësisë së shikimit bëhet:

   $$K = \sqrt{\frac{3474h}{1000}}$$ $$K = \sqrt{3.474h}$$

   Derivati $\frac{dK}{dh}$ është:

   $$\frac{dK}{dh} = \frac{1}{2} (3.474h)^{-1/2} \cdot 3.474$$ $$\frac{dK}{dh} = \frac{3.474}{2\sqrt{3.474h}}$$ $$\frac{dK}{dh} = \frac{1.737}{\sqrt{3.474h}}$$

   Njehsojmë $\frac{dK}{dh}$ kur $h = 50$ m:

   $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} = \frac{1.737}{\sqrt{3.474 \cdot 50}}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} = \frac{1.737}{\sqrt{173.7}}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} \approx \frac{1.737}{13.1803}$$ $$\frac{dK}{dh}\Big|_{h=50} \approx 0.1318 \text{ km/m}$$

   Në Hënë, kur turistja është në lartësinë $50$ m, largesa e shikimit të saj ndryshon me rreth $0.1318$ km për çdo metër lartësi.