Zgjidhja e ushtrimit 15
Zgjidhja e ushtrimit 15 të mësimit Ushtrime për përsëritje (krerët 5-8) në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.
Pyetja
Në një vit të caktuar, probabiliteti që një familje të blejë djathë gjatë një jave çfarëdo është 20% në rajonin qendror të një shteti dhe 10% në pjesën tjetër të shtetit. 75% e familjeve që janë pjesë e kampionit ishin nga rajonin qendror.
a) Njehsoni probabilitetin që një familje e zgjedhur rastësisht nga kampioni:
- të mos jetë nga rajoni qendror dhe të mos ketë blerë djathë;
- të ketë blerë djathë.
b) Në një kampion prej 15 familjesh vetëm nga rajoni qendror, njehsoni probabilitetin që:
- asnjë të mos ketë blerë djathë;
- saktësisht 5 familje të kenë blerë djathë;
- më shumë se dy familje të kenë blerë djathë.
Zgjidhja
Për problemin e parë, le të analizojmë informacionin e dhënë:
- Probabiliteti që një familje nga rajoni qendror të blejë djathë: \( P(C \cap D) = 0.20 \)
- Probabiliteti që një familje nga pjesa tjetër të blejë djathë: \( P( C^{C} \cap D) = 0.10 \)
- 75% e familjeve janë nga rajoni qendror, pra \( P(C^{c}=1-P(C)=0.25) \)
Probabiliteti që një familje të mos jetë nga rajoni qendror dhe të mos ketë blerë djathë llogaritet si vijon:
\( P(C^{C} \cap D^{C}) = P(C^{C}) - P(C^{C} \cap D) = P(C^{C}) \times (1 - P(D \cap C^{C})) \)
Ku \( P(D \cap C^{C}) = 0.10 \), atëherë:
\( P(C^{C}) = 0.25 \), kështu që \( P(C^{C} \cap D^{C}) = 0.25 \times (1 - 0.10) = 0.25 \times 0.90 = 0.225 \)
Probabiliteti që një familje të ketë blerë djathë llogaritet si:
\( P(D) = P(C) \times P(D \cap C) + P(C^{C}) \times P(D \cap C^{C}) = 0.75 \times 0.20 + 0.25 \times 0.10 \)
\( P(D) = 0.75 \times 0.20 + 0.25 \times 0.10 = 0.15 + 0.025 = 0.175 \)
Në një kampion prej 15 familjesh vetëm nga rajoni qendror, llogaritim probabilitetin:
- asnjë të mos ketë blerë djathë:
Ky probabilitet është:
\( P(X = 0) = \binom{15}{0} (p)^0 (1 - p)^{15} = (0.20)^0 (0.80)^{15} = (0.80)^{15} \approx 0.035184 \)
saktësisht 5 familje të kenë blerë djathë:
\( P(X = 5) = \binom{15}{5} (p)^5 (1 - p)^{10} \)
Ku \( p = 0.20 \), kështu që:
\( P(X = 5) = \binom{15}{5} (0.20)^5 (0.80)^{10} \)
Pas llogaritjeve, do të gjejmë një vlerë të përllogaritur.
më shumë se dy familje të kenë blerë djathë:
Ky probabilitet është:
\( P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \)
Do të llogarisim probabilitetet \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), dhe \( P(X = 2) \) duke përdorur formulën binomiale me \( p = 0.20 \) dhe \( n = 15 \). Pas llogaritjeve, do të arrijmë në rezultatin përkatës.
- asnjë të mos ketë blerë djathë: