Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 16

Zgjidhja e ushtrimit 16 të mësimit Vlerësim 1 në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

Tregoni nëse fjalitë e mëposhtme janë të sakta apo të gabuara. Fjalitë e sakta, vërtetojini. Për fjalitë e gabuara jepni një kundërshembull për të treguar që s'janë të sakta.

  1. Në qoftë se a>ba>b atëherë a2>b2a^2>b^2.
  2. (nn2 + nn) është numërr çift për çdo numër të plotë pozitiv nn.
  3. Në qoftë se aa dhe bb janë numra realë atëherë bb2 ≥\ge 4aa(bb - aa).
  4. 2n^n - 1 është numër i thjeshtë për çdo numër të plotë pozitiv nn.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. Fjalia është e gabuar.

    Kundërshembull:

    Le të jenë $a=1$ dhe $b=-2$.

    Këtu $a > b$ sepse $1 > -2$ është e vërtetë.

    Por $a^2 = 1^2 = 1$.

    Dhe $b^2 = (-2)^2 = 4$.

    Meqenëse $1 < 4$, rrjedh që $a^2 \not> b^2$. Pra, $a^2 > b^2$ nuk është e vërtetë.

  2. Fjalia është e saktë.

    Vërtetim:

    Shprehja është $n^2 + n$. Mund ta shkruajmë si $n(n+1)$.

    Kjo shprehje paraqet prodhimin e dy numrave të plotë të njëpasnjëshëm.

    Nga dy numra të plotë të njëpasnjëshëm, gjithmonë njëri prej tyre është çift.

    Nëse $n$ është numër çift, atëherë $n(n+1)$ është prodhim i një numri çift me një numër tek, që rezulton në një numër çift.

    Nëse $n$ është numër tek, atëherë $n+1$ është numër çift. Kështu, $n(n+1)$ është prodhim i një numri tek me një numër çift, që rezulton në një numër çift.

    Në të dy rastet, $n(n+1)$ është numër çift.

  3. Fjalia është e saktë.

    Vërtetim:

    Mosbarazimi që duhet vërtetuar është $b^2 \ge 4a(b - a)$.

    Hapi 1: Shpërndajmë anën e djathtë të mosbarazimit:

    $$b^2 \ge 4ab - 4a^2$$

    Hapi 2: Zhvendosim të gjithë termat në anën e majtë të mosbarazimit:

    $$b^2 - 4ab + 4a^2 \ge 0$$

    Hapi 3: Vërejmë se ana e majtë është një katror i plotë:

    $$(b - 2a)^2 \ge 0$$

    Meqenëse katrori i çdo numri real është gjithmonë jonegativ (më i madh ose i barabartë me zero), mosbarazimi $(b - 2a)^2 \ge 0$ është gjithmonë i vërtetë për çdo numër real $a$ dhe $b$. Kështu, edhe mosbarazimi fillestar është i vërtetë.

  4. Fjalia është e gabuar.

    Kundërshembull:

    Le të marrim $n=4$.

    Zëvendësojmë $n=4$ në shprehje:

    $$2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$$

    Numri $15$ nuk është numër i thjeshtë, sepse ai mund të faktorizohet si $15 = 3 \times 5$.

    Një tjetër kundërshembull është $n=1$: $2^1 - 1 = 1$, i cili nuk është numër i thjeshtë (numrat e thjeshtë janë më të mëdhenj se 1).