Zgjidhja e ushtrimit 17

Përcaktimi i koordinatave të pikave:

1. Gjetja e pikës A, pikëprerja e parabolës me boshtin $Oy$:

   Pika A ndodhet në boshtin $Oy$, kështu që $x=0$. Zëvendësojmë $x=0$ në ekuacionin e parabolës $y = 2x^2 - 8x + 9$:

   $$y = 2(0)^2 - 8(0) + 9$$ $$y = 9$$

   Koordinatat e pikës A janë:

   $$A(0, 9)$$

2. Gjetja e pikës B, kulmi i parabolës:

   Për një parabolë në formën $y = ax^2 + bx + c$, koordinata $x$ e kulmit jepet nga formula $x = -\frac{b}{2a}$.

   Në ekuacionin $y = 2x^2 - 8x + 9$, kemi $a=2$ dhe $b=-8$.

   $$x_B = -\frac{-8}{2(2)} = \frac{8}{4} = 2$$

   Tani zëvendësojmë $x=2$ në ekuacionin e parabolës për të gjetur koordinatën $y$:

   $$y_B = 2(2)^2 - 8(2) + 9$$ $$y_B = 2(4) - 16 + 9$$ $$y_B = 8 - 16 + 9$$ $$y_B = 1$$

   Koordinatat e pikës B janë:

   $$B(2, 1)$$

3. Gjetja e pikave C dhe D, pikat e prerjes së drejtëzës me parabolën:

   Për të gjetur pikat e prerjes, barazojmë ekuacionet e drejtëzës dhe parabolës:

   $$2x^2 - 8x + 9 = 4x - 5$$

   Sjellim të gjithë termat në një anë për të formuar një ekuacion kuadratik:

   $$2x^2 - 8x - 4x + 9 + 5 = 0$$ $$2x^2 - 12x + 14 = 0$$

   Pjesëtojmë me 2:

   $$x^2 - 6x + 7 = 0$$

   Përdorim formulën kuadratike $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ku $a=1$, $b=-6$, $c=7$:

   $$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(7) = 36 - 28 = 8$$ $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{2(1)}$$ $$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2}$$ $$x_1 = 3 - \sqrt{2}$$ $$x_2 = 3 + \sqrt{2}$$

   Tani gjejmë koordinatat $y$ për çdo vlerë të $x$ duke përdorur ekuacionin e drejtëzës $y = 4x - 5$ (është më i thjeshtë):

   Për $x_1 = 3 - \sqrt{2}$:

   $$y_1 = 4(3 - \sqrt{2}) - 5$$ $$y_1 = 12 - 4\sqrt{2} - 5$$ $$y_1 = 7 - 4\sqrt{2}$$

   Pika C (me koordinatë $x$ më të vogël) është:

   $$C(3 - \sqrt{2}, 7 - 4\sqrt{2})$$

   Për $x_2 = 3 + \sqrt{2}$:

   $$y_2 = 4(3 + \sqrt{2}) - 5$$ $$y_2 = 12 + 4\sqrt{2} - 5$$ $$y_2 = 7 + 4\sqrt{2}$$

   Pika D (me koordinatë $x$ më të madhe) është:

   $$D(3 + \sqrt{2}, 7 + 4\sqrt{2})$$