Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 17

Zgjidhja e ushtrimit 17 të mësimit Vlerësim 2 në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles, Eddie Mullan, Garry Wiseman, John Rayneau, Katie Wood, Mike Heylings, Paul Williams dhe Rob Wagner.

Pyetja

Më poshtë janë paraqitur 5 ekuacione, të emërtuara me numra romakë i - v, dhe pesë grafikë, të emërrtuar me shkronjat A - E.

  1. y=1(x−2)2y = \frac{1}{(x-2)^2}
  2. y=1+1(x−1)y = 1 + \frac{1}{(x-1)}
  3. y=−1(x+1)y =-\frac{1}{(x+1)}
  4. y=−1(x+1)2y = - \frac{1}{(x+1)^2}
  5. y=1+1x2y = 1 + \frac{1}{x^2}

Katër prej ekuacioneve të mësipërme korrespondojnë me katër prej grafikëve të mësipërm.

  1. Çiftoni secilin prej katër ekuacioneve me grafikun përkatës.
  2. Për grafikun që nuk ka ekuacion, shkruani ekuacionin e mundshëm.
  3. Për ekuacionin që nuk ka grafik, skiconi grafikun e tij.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. Çiftimi i ekuacioneve me grafikët:

    • Ekuacioni (i): $y = \frac{1}{(x-2)^2}$

      • Asimptota vertikale është $x=2$. Asimptota horizontale është $y=0$. Për shkak të termit të katrorit në emërues, $y$ do të jetë gjithmonë pozitiv. Ky përputhet me grafikun B.

    • Ekuacioni (ii): $y = 1 + \frac{1}{(x-1)}$

      • Asimptota vertikale është $x=1$. Asimptota horizontale është $y=1$. Për $x > 1$, $y > 1$. Për $x < 1$, $y < 1$. Ky përputhet me grafikun A.

    • Ekuacioni (iii): $y = -\frac{1}{(x+1)}$

      • Asimptota vertikale është $x=-1$. Asimptota horizontale është $y=0$. Për $x > -1$, $y < 0$. Për $x < -1$, $y > 0$. Ky përputhet me grafikun E.

    • Ekuacioni (iv): $y = - \frac{1}{(x+1)^2}$

      • Asimptota vertikale është $x=-1$. Asimptota horizontale është $y=0$. Për shkak të termit të katrorit në emërues dhe shenjës negative përpara thyesës, $y$ do të jetë gjithmonë negativ. Ky përputhet me grafikun D.

    • Ekuacioni (v): $y = 1 + \frac{1}{x^2}$

      • Asimptota vertikale është $x=0$. Asimptota horizontale është $y=1$. Për shkak të termit $x^2$ në emërues, $\frac{1}{x^2}$ do të jetë gjithmonë pozitiv, kështu që $y = 1 + (\text{një vlerë pozitive})$ do të jetë gjithmonë më e madhe se $1$. Ky nuk përputhet me asnjë nga grafikët e dhënë.

  2. Grafiku që nuk ka ekuacion është grafiku C.

    Karakteristikat e grafikut C:

    • Asimptota vertikale është $x=0$.
    • Asimptota horizontale është $y=1$.
    • Për të gjitha vlerat e $x$ (përveç $x=0$), $y \ge 1$.

    Një ekuacion i mundshëm për grafikun C është $y = 1 + \frac{1}{x^2}$.

  3. Ekuacioni që nuk ka grafik është (v) $y = 1 + \frac{1}{x^2}$.

    Për të skicuar grafikun e tij:

    • Asimptota vertikale: $x=0$ (boshti y).
    • Asimptota horizontale: $y=1$.
    • Për $x=1$, $y=1+\frac{1}{1^2} = 2$.
    • Për $x=2$, $y=1+\frac{1}{2^2} = 1.25$.
    • Për $x=-1$, $y=1+\frac{1}{(-1)^2} = 2$.
    • Për $x=-2$, $y=1+\frac{1}{(-2)^2} = 1.25$.
    • Meqenëse $x^2$ është gjithmonë pozitiv, $1/x^2$ është gjithmonë pozitiv, kështu që $y$ është gjithmonë më i madh se $1$.

    Grafiku do të ngjante me grafikun C, por me vlerën $y$ gjithmonë mbi asimptotën $y=1$ dhe duke iu afruar kësaj asimptote kur $x$ largohet nga origjina. Dy degët e grafikut do të shkonin drejt $\infty$ kur $x \to 0$ dhe do të ishin simetrike rreth boshtit y.