Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 2E në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Mediaprint me autorë Greg Attwood, Jack Barraclough, Ian Bettison, Alistair Macpherson, Bronwen Moran, Su Nicholson, Diane Oliver, Joe Petran, Keith Bledger, Harry Smith, Geoff Staley, Robert Ward-Penny dhe Dave Wilkins.

Pyetja

Gjej rrënjët e funksioneve që vijojnë:

  1. f(x)=x6+9x3+8f(x) = x^6 + 9x^3 + 8
  2. g(x)=x4−12x2+32g(x) = x^4 - 12x^2 + 32
  3. h(x)=27x6+26x3−1h(x) = 27x^6 + 26x^3 - 1
  4. j(x)=32x10−33x5+1j(x) = 32x^{10} - 33x^5 + 1
  5. k(x)=x−7x+10k(x) = x - 7\sqrt{x} + 10
  6. m(x)=2x23+2x13−12m(x) = 2x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}-12

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. Zëvëndësojmë x3=ux^3 = u dhe kemi: u2+9u+8=0⇒u2+u+8u+8=0⇒u(u+1)+8(u+1)=0⇒(u+8)(u+1)=0⇒u+8=0⇒u=−8u^2 + 9u + 8 = 0 \rArr u^2 + u + 8u + 8 = 0 \rArr u(u+1)+8(u+1)=0 \rArr (u+8)(u+1) = 0 \rArr u+8=0 \rArr u=-8 dhe u+1=0⇒u=−1u+1=0 \rArr u = -1. Kthehemi te zëvëndësimi fillestar dhe kemi: x3=−8⇒x=−83⇒x=−2x^3 = -8 \rArr x = \sqrt[3]{-8} \rArr \boxed{x = -2} dhe x3=−1⇒x=−13=x=−1x^3 = -1 \rArr x = \sqrt[3]{-1} = \boxed{x=-1}.
  2. Zëvëndësojmë x2=ux^2 = u dhe kemi: u2−12u+32=0⇒u2−4u−8u+32=0⇒u(u−4)−8(u−4)=0⇒(u−8)(u−4)=0⇒u−8=0⇒u=8u^2 - 12u + 32 = 0 \rArr u^2 - 4u - 8u + 32 = 0 \rArr u(u-4)-8(u-4)=0 \rArr (u-8)(u-4)=0 \rArr u-8=0 \rArr u = 8 dhe u−4=0⇒u=4u-4=0 \rArr u = 4. Kthehemi te zëvëndësimi fillestar dhe kemi: x2=8⇒x=8⇒x=±22x^2 = 8 \rArr x = \sqrt{8} \rArr \boxed{x = \pm 2\sqrt{2}} dhe x2=4⇒x=4⇒x=±2x^2 = 4 \rArr x = \sqrt{4} \rArr \boxed{x = \pm 2}.
  3. Zëvëndësojmë x3=ux^3 = u dhe kemi: 27u2+26u−1=0⇒27u2+27u−u−1=0⇒27u(u+1)−1(u+1)=0⇒(27u−1)(u+1)=0⇒27u−1=0⇒27u=1⇒u=12727u^2 + 26u - 1 = 0 \rArr 27u^2 +27u-u-1=0 \rArr 27u(u+1)-1(u+1)=0 \rArr (27u-1)(u+1)=0 \rArr 27u-1=0 \rArr 27u=1 \rArr u = \dfrac{1}{27} dhe u+1=0⇒u=−1u+1 = 0 \rArr u = -1. Kthehemi te zëvëndësimi fillestar dhe kemi: x3=127⇒x=1273=x=13x^3 = \dfrac{1}{27} \rArr x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} = \boxed{x = \dfrac{1}{3}} dhe x3=−1⇒x=−13=x=−1x^3 = -1 \rArr x = \sqrt[3]{-1} = \boxed{x = -1}.
  4. Zëvëndësojmë x5=ux^5 = u dhe kemi: 32u2−33u+1=0⇒32u2−32u−u+1=0⇒32u(u−1)−1(u−1)=0⇒(32u−1)(u−1)=0⇒32u−1=0⇒32u=1⇒u=13232u^2 - 33u + 1 = 0 \rArr 32u^2 - 32u - u + 1 = 0 \rArr 32u(u-1)-1(u-1)=0 \rArr (32u-1)(u-1)=0 \rArr 32u-1=0 \rArr 32u = 1 \rArr u= \dfrac{1}{32} dhe u−1=0⇒u=1u -1=0 \rArr u = 1. Kthehemi te zëvëndësimi fillestar dhe kemi: x5=132⇒x=1325⇒x=12x^5 = \dfrac{1}{32} \rArr x = \sqrt[5]{\dfrac{1}{32}} \rArr \boxed{x = \dfrac{1}{2}} dhe x5=1⇒x=15=x=1x^5 = 1 \rArr x = \sqrt[5]{1} = \boxed{x = 1}.
  5. x−7x+10=0⇒x−2x−5x+10=0⇒x(x−2)−5(x−2)=0⇒(x−5)(x−2)=0⇒x−5=0⇒x=5⇒(x)2=52⇒x=25x - 7\sqrt{x} + 10 = 0 \rArr x - 2\sqrt{x} - 5\sqrt{x} + 10 = 0 \rArr \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-5(\sqrt{x}-2)=0 \rArr (\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}-2)=0 \rArr \sqrt{x} - 5 = 0 \rArr \sqrt{x} = 5 \rArr (\sqrt{x})^2 = 5^2 \rArr \boxed{x=25} dhe x−2=0⇒x=2⇒(x)2=22⇒x=4\sqrt{x} - 2 = 0 \rArr \sqrt{x} = 2 \rArr (\sqrt{x})^2 = 2^2 \rArr \boxed{x = 4}.
  6. Shprehja mund të shkruhet kështu: 2x23+2x3−122\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} - 12. Faktorizojmë dyshin dhe e eleminojmë: x23+x3−6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 6. Zëvëndësojmë x3=u\sqrt[3]{x} = u dhe kemi: u2+u−6=0⇒u2+3u−2u−6=0⇒u(u+3)−2(u+3)=0⇒(u−2)(u+3)=0⇒u−2=0⇒u=2u^2 + u - 6 = 0 \rArr u^2 + 3u - 2u - 6 = 0 \rArr u(u+3)-2(u+3) = 0 \rArr (u-2)(u+3)= 0 \rArr u-2=0 \rArr u = 2 dhe u+3=0⇒u=−3u+3=0 \rArr u = -3. Kthehemi te zëvëndësimi fillestar dhe kemi: x3=2⇒(x3)3=23⇒x=8\sqrt[3]{x} = 2 \rArr (\sqrt[3]{x})^3 = 2^3 \rArr \boxed{x=8} dhe x3=−3⇒(x3)3=(−3)3⇒x=−27\sqrt[3]{x} = -3 \rArr (\sqrt[3]{x})^3 = (-3)^3 \rArr \boxed{x = -27}.