Zgjidhja e ushtrimit 2

a) Grafiku e pret boshtin e ordinatave në pikën (0, 15), koordinata të cilat i zëvëndësojmë në shprehje për të gjetur ndryshoren $c$ $\to$ $a \times 0^2 + b \times 0 + c = 15 \rArr \boxed{c = 15}$. Boshti i abshisave pritet në pikat (3, 0) dhe (5, 0). Duke ditur tani ndryshoren $c$, zëvëndësojmë $x=3$ dhe $x=5$ dhe ndërtojmë sistemin:

$\begin{cases} 9a+3b+15 =0 \\ 25a+5b+15 =0 \end{cases}$

E zgjidhim me metodën e mbledhjes duke shumëzuar kufizat e shprehjes së parë me 5 dhe të dytës me -3, në mënyrë që të eleminojmë ndryshoren $b$:

$\begin{cases} 45a+\cancel{15b}+75 =0 \\ -75a-\cancel{15b}-45 =0 \end{cases}$

Mbledhim shprehjet dhe kemi: $45a - 75a + 75 - 45 = 0 \rArr -30a + 30 = 0 \rArr -30a = -30 \rArr \boxed{a=1}$. Tani që gjetëm $a$-në e zëvëndësojmë te njëra nga shprehjet për të gjetur ndryshoren $b$ $\to$ $9 \times 1 + 3b + 15 = 0 \rArr 9+3b+15 = 0 \rArr 3b+24 = 0 \rArr 3b = -24 \rArr \boxed{b = -8}$.

b) Grafiku e pret boshtin e ordinatave në pikën (0, 10), koordinata të cilat i zëvëndësojmë në shprehje për të gjetur ndryshoren $c$ $\to$ $a \times 0^2 + b \times 0 + c = 10 \rArr \boxed{c=10}$. Boshti i abshisave pritet në pikat (-2, 0) dhe (5, 0). Duke ditur tani ndryshoren $c$, zëvëndësojmë $x = -2$ dhe $x = 5$ dhe ndërtojmë sistemin:

$\begin{cases} 4a-2b+10 =0 \\ 25a+5b+10 =0 \end{cases}$

E zgjidhim me metodën e mbledhjes duke shumëzuar kufizat e shprehjes së parë me 5 dhe të dytës me 2, në mënyrë që të eleminojmë ndryshoren $b$:

$\begin{cases} 20a-\cancel{10b}+50 =0 \\ 50a+\cancel{10b}+20 =0 \end{cases}$

Mbledhim shprehjet dhe kemi: $20a + 50a + 50 + 20 = 0 \rArr 70a + 70 = 0 \rArr 70a = -70 \rArr \boxed{a=-1}$. Tani që gjetëm $a$-në e zëvëndësojmë te njëra nga shprehjet për të gjetur ndryshoren $b$ $\to$ $4 \times (-1) - 2b + 10 = 0 \rArr -4 -2b+10=0 \rArr -2b+6=0 \rArr 2b=6 \rArr \boxed{b=3}$.

c) Grafiku e pret boshtin e ordinatave në pikën (0, -18), koordinata të cilat i zëvëndësojmë në shprehje për të gjetur ndryshoren $c$ $\to$ $a \times 0^2 + b \times 0 + c = -18 \rArr \boxed{c = -18}$. Boshti i abshisave pritet në pikat (-3, 0) dhe (3, 0). Duke ditur tani ndryshoren $c$, zëvëndësojmë $x = -3$ dhe $x=3$ dhe ndërtojmë sistemin:

$\begin{cases} 9a-3b-18 =0 \\ 9a+3b-18 =0 \end{cases}$

E zgjidhim me metodën e mbledhjes duke eleminuar kështu ndryshoren $b$ dhe kemi: $9a + 9a - 3b + 3b - 18 - 18 = 0 \rArr 18a - 36 = 0 \rArr 18a = 36 \rArr \boxed{a = 2}$. Tani që gjetëm $a$-në e zëvëndësojmë te njëra nga shprehjet për të gjetur ndryshoren $b$ $\to$ $9 \times 2 - 3b - 18 = 0 \rArr 18 - 3b - 18 = 0 \rArr -3b = 0 \rArr \boxed{b=0}$.

d) Grafiku e pret boshtin e ordinatave në pikën (0, -1), koordinata të cilat i zëvëndësojmë në shprehje për të gjetur ndryshoren $c$ $\to$ $a \times 0^2 + b \times 0 + c = -1 \rArr \boxed{c=-1}$. Boshti i abshisave pritet në pikat (-1, 0) dhe (4, 0). Duke ditur tani ndryshoren $c$, zëvëndësojmë $x = -1$ dhe $x = 4$ dhe ndërtojmë sistemin:

$\begin{cases} a-b-1 =0 \\ 16a+4b-1 =0 \end{cases}$

E zgjidhim me metodën e mbledhjes duke shumëzuar kufizat e shprehjes së parë me 4, në mënyrë që të eleminojmë ndryshoren $b$:

$\begin{cases} 4a-\cancel{4b}-4 =0 \\ 16a+\cancel{4b}-1 =0 \end{cases}$

Mbledhim shprehjet dhe kemi: $4a + 16a - 4 - 1 = 0 \rArr 20a - 5 = 0 \rArr 20a = 5 \rArr \boxed{a = \dfrac{1}{4}}$. Tani që gjetëm $a$-në e zëvëndësojmë te njëra nga shprehjet për të gjetur ndryshoren $b$ $\to$ $\dfrac{1}{4} - b - 1 = 0 \rArr -\dfrac{3}{4}-b=0 \rArr \boxed{b=-\dfrac{3}{4}}$.