Kopertina e librit Matematika 12

Zgjidhja e ushtrimit 2

Zgjidhja e ushtrimit 2 të mësimit 3B në librin Matematika 12 nga shtëpia botuese Mediaprint me autorë Greg Attwood, Jack Barraclough, Ian Bettison, Alistair Macpherson, Bronwen Moran, Su Nicholson, Diane Oliver, Joe Petran, Keith Bledger, Harry Smith, Geoff Staley, Robert Ward-Penny dhe Dave Wilkins.

Pyetja

Zgjidh sistemet e ekuacioneve.

  1. {2x+2y=7x2−4y2=8\begin{cases} 2x+2y=7 \\ x^2-4y^2=8 \end{cases}
  2. {x+y=9x2−3xy+2y2=0\begin{cases} x+y=9 \\ x^2-3xy+2y^2=0 \end{cases}
  3. {5y−4x=1x2−y2+5x=41\begin{cases} 5y-4x=1 \\ x^2-y^2+5x=41 \end{cases}

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Veçojmë xx në ekuacionin e parë: 2x+2y=7⇒2x=7−2y⇒x=12(7−2y)2x+2y=7 \rArr 2x=7-2y \rArr x = \dfrac{1}{2}(7-2y). Zëvëndësojmë këtë vlerë në ekuacionin e dytë dhe zbërthejmë kllapat: (12(7−2y))2−4y2=8⇒14(7−2y)2−4y2=8(\dfrac{1}{2}(7-2y))^2-4y^2=8 \rArr \dfrac{1}{4}(7-2y)^2-4y^2=8. Shumëzojmë çdo kufizë me 44 që të zhdukim emëruesin dhe kemi (7−2y)2−16y2=32(7-2y)^2-16y^2=32. Zbërthejmë kllapat: 49−28y+4y2−16y2=32⇒12y2+28y−17=049-28y+4y^2-16y^2=32 \rArr 12y^2+28y-17=0. Këtë të fundit e faktorizojmë: (6y+17)(2y−1)=0(6y+17)(2y-1)=0, nga ku kemi vlerat 6y+17=0⇒6y=−17⇒y=−1766y+17=0 \rArr 6y=-17 \rArr y= -\dfrac{17}{6} dhe 2y−1=0⇒2y=1⇒y=122y-1=0 \rArr 2y=1 \rArr y=\dfrac{1}{2}. Me vlerat e yy gjejmë ato të xx duke i zëvëndësuar në ekuacionin e veçuar: x=12(7−2y)⇒x=12(7−2×(−176))⇒x=12(7+173)⇒x=193x=\dfrac{1}{2}(7-2y) \rArr x=\dfrac{1}{2}(7-2\times(-\dfrac{17}{6})) \rArr x=\dfrac{1}{2}(7+\dfrac{17}{3}) \rArr x=\dfrac{19}{3} kur y=−176y=-\dfrac{17}{6}; dhe x=12(7−2y)⇒x=12(7−2×12)⇒x=12(7−1)⇒x=3x=\dfrac{1}{2}(7-2y) \rArr x=\dfrac{1}{2}(7-2\times \dfrac{1}{2}) \rArr x=\dfrac{1}{2}(7-1) \rArr x=3 kur y=12y=\dfrac{1}{2}. Zgjidhjet e sistemit janë x=193;y=−176\boxed{x=\dfrac{19}{3}; y=-\dfrac{17}{6}} ose x=3;y=12\boxed{x=3; y=\dfrac{1}{2}}.
  2. Veçojmë xx në ekuacionin e parë: x+y=9⇒x=9−yx+y=9 \rArr x=9-y. Zëvëndësojmë këtë vlerë në ekuacionin e dytë dhe zbërthejmë kllapat: (9−y)2−y2+5(9−y)=41⇒81−18y+y2−27y+3y2+2y2=0⇒6y2−45y+81=0(9-y)^2-y^2+5(9-y)=41 \rArr 81-18y+y^2-27y+3y^2+2y^2=0 \rArr 6y^2-45y+81=0. Pjesëtojmë çdo kufizë me 33 dhe faktorizojmë: 2y2−15y+27=0⇒(2y−9)(y−3)=02y^2-15y+27=0 \rArr (2y-9)(y-3)=0, nga ku kemi vlerat 2y−9=0⇒2y=9⇒y=922y-9=0 \rArr 2y=9 \rArr y=\dfrac{9}{2} dhe y−3=0⇒y=3y-3=0 \rArr y=3. Me vlerat e yy gjejmë ato të xx duke i zëvëndësuar në ekuacionin e veçuar: x=9−y⇒x=9−92⇒x=92x=9-y \rArr x=9- \dfrac{9}{2} \rArr x=\dfrac{9}{2} kur y=92y=\dfrac{9}{2}; dhe x=9−y⇒x=9−3⇒x=6x=9-y \rArr x=9-3 \rArr x=6 kur y=3y=3. Zgjidhjet e sistemit janë x=92;y=92\boxed{x=\dfrac{9}{2}; y=\dfrac{9}{2}} ose x=6;y=3\boxed{x=6; y=3}.
  3. Veçojmë yy në ekuacionin e parë: 5y−4x=1⇒5y=4x+1⇒y=45x+155y-4x=1 \rArr 5y=4x+1 \rArr y=\dfrac{4}{5}x +\dfrac{1}{5}. Zëvëndësojmë këtë vlerë në ekuacionin e dytë dhe zbërthejmë kllapat: x2−(45x+15)2+5x=41⇒x2−1625x2−825x−125+5x=41⇒25x2−16x2−8x−1+125x=1025⇒9x2+117x−1026=0x^2-(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{1}{5})^2+5x=41 \rArr x^2 - \dfrac{16}{25}x^2-\dfrac{8}{25}x-\dfrac{1}{25}+5x=41 \rArr 25x^2-16x^2-8x-1+125x=1025 \rArr 9x^2+117x-1026=0. Pjesëtojmë çdo kufizë me 99 dhe faktorizojmë: x2+13x−114=0⇒(x+19)(x−6)=0x^2+13x-114=0 \rArr (x+19)(x-6)=0, nga ku kemi vlerat x+19=0⇒x=−19x+19=0 \rArr x=-19 dhe x−6=0⇒x=6x-6=0 \rArr x=6. Me vlerat e xx gjejmë ato të yy duke i zëvëndësuar në ekuacionin e veçuar: y=45x+15⇒y=45×(−19)+15⇒y=−15y=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{1}{5} \rArr y=\dfrac{4}{5} \times (-19) +\dfrac{1}{5} \rArr y=-15; dhe y=45x+15⇒y=45×6+15⇒y=5y=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{1}{5} \rArr y=\dfrac{4}{5} \times 6 +\dfrac{1}{5} \rArr y=5. Zgjidhjet e sistemit janë x=−19;y=−15\boxed{x=-19; y=-15} ose x=6;y=5\boxed{x=6; y=5}.