Zgjidhja e ushtrimit 8

Për të vizatuar trekëndëshin ABC dhe shëmbëllimet e tij, ndiqni hapat e mëposhtëm. Ushtrimi 6 duhet të japë koordinatat e kulmeve të trekëndëshit ABC. Supozojmë koordinatat e mëposhtme për trekëndëshin ABC:

• $A = (2, 1)$
• $B = (3, 4)$
• $C = (0, 3)$

Hapi 1: Vizatoni trekëndëshin ABC.

Në një sistem koordinativ, vendosni pikat A, B dhe C dhe bashkojini ato për të formuar trekëndëshin ABC.

Hapi 2: Vizatoni shëmbëllimin A'B'C' në simetrinë boshtore me drejtëz simetrie $x = 4$.

Për çdo pikë $(x, y)$ të trekëndëshit ABC, pika e saj e pasqyruar $(x', y')$ do të ketë $y' = y$. Koordinata $x'$ llogaritet duke marrë parasysh se drejtëza $x=4$ është mesi i segmentit që lidh $(x, y)$ dhe $(x', y')$. Pra, $\frac{x + x'}{2} = 4 \Rightarrow x + x' = 8 \Rightarrow x' = 8 - x$.

• $A = (2, 1) \Rightarrow A' = (8 - 2, 1) = (6, 1)$
• $B = (3, 4) \Rightarrow B' = (8 - 3, 4) = (5, 4)$
• $C = (0, 3) \Rightarrow C' = (8 - 0, 3) = (8, 3)$

Vizatoni trekëndëshin A'B'C' me këto kulme.

Hapi 3: Vizatoni shëmbëllimin A''B''C'' të trekëndëshit A'B'C' në simetrinë boshtore me drejtëz $x = 6$.

Për çdo pikë $(x', y')$ të trekëndëshit A'B'C', pika e saj e pasqyruar $(x'', y'')$ do të ketë $y'' = y'$. Koordinata $x''$ llogaritet duke marrë parasysh se drejtëza $x=6$ është mesi i segmentit që lidh $(x', y')$ dhe $(x'', y'')$. Pra, $\frac{x' + x''}{2} = 6 \Rightarrow x' + x'' = 12 \Rightarrow x'' = 12 - x'$.

• $A' = (6, 1) \Rightarrow A'' = (12 - 6, 1) = (6, 1)$
• $B' = (5, 4) \Rightarrow B'' = (12 - 5, 4) = (7, 4)$
• $C' = (8, 3) \Rightarrow C'' = (12 - 8, 3) = (4, 3)$

Vizatoni trekëndëshin A''B''C'' me këto kulme.

Përgjigjet e pyetjeve:

1. Cili është shndërrimi gjeometrik që pasqyron trekëndëshin fillestar në shëmbëllimin e fundit?

Një pasqyrim i dyfishtë në dy drejtëza paralele ($x=4$ dhe $x=6$) rezulton në një zhvendosje. Drejtimi i zhvendosjes është pingul me drejtëzat paralele dhe madhësia e zhvendosjes është dy herë largësia ndërmjet drejtëzave.

Largësia ndërmjet drejtëzave $x=4$ dhe $x=6$ është $6 - 4 = 2$ njësi.

Shndërrimi gjeometrik që pasqyron trekëndëshin fillestar (ABC) në shëmbëllimin e fundit (A''B''C'') është një zhvendosje (ose translacion).

2. Cili është vektori që përfaqëson këtë shndërrim?

Drejtëzat e simetrisë janë vertikale, kështu që zhvendosja do të jetë horizontale. Zhvendosja do të jetë dy herë largësinë ndërmjet drejtëzave dhe në drejtimin nga drejtëza e parë e simetrisë ($x=4$) drejt drejtëzës së dytë ($x=6$).

Largësia ndërmjet drejtëzave është $|6 - 4| = 2$.

Zhvendosja totale është $2 \times 2 = 4$ njësi në drejtimin pozitiv të aksit x.

Për të verifikuar, marrim pikat fillestare dhe përfundimtare:

• $A = (2, 1) \rightarrow A'' = (6, 1)$. Zhvendosja në x është $6 - 2 = 4$. Zhvendosja në y është $1 - 1 = 0$.
• $B = (3, 4) \rightarrow B'' = (7, 4)$. Zhvendosja në x është $7 - 3 = 4$. Zhvendosja në y është $4 - 4 = 0$.
• $C = (0, 3) \rightarrow C'' = (4, 3)$. Zhvendosja në x është $4 - 0 = 4$. Zhvendosja në y është $3 - 3 = 0$.

Vektori që përfaqëson këtë shndërrim është $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$.