Zgjidhja e ushtrimit 1

Ekuacioni: $\frac{3}{x} + \frac{1}{x-4} = 1$

Kufizimet: $x \neq 0$ dhe $x \neq 4$.

Shumëzojmë të dy anët me $x(x-4)$:

$$3(x-4) + x = x(x-4)$$ $$3x - 12 + x = x^2 - 4x$$ $$4x - 12 = x^2 - 4x$$ $$x^2 - 8x + 12 = 0$$

Përdorim formulën kuadratike $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$$ $$x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x = \frac{8 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Zgjidhjet janë $x=6$ dhe $x=2$.

Ekuacioni: $\frac{2}{x-3} + \frac{1}{x-4} = 2$

Kufizimet: $x \neq 3$ dhe $x \neq 4$.

Shumëzojmë të dy anët me $(x-3)(x-4)$:

$$2(x-4) + 1(x-3) = 2(x-3)(x-4)$$ $$2x - 8 + x - 3 = 2(x^2 - 4x - 3x + 12)$$ $$3x - 11 = 2(x^2 - 7x + 12)$$ $$3x - 11 = 2x^2 - 14x + 24$$ $$2x^2 - 17x + 35 = 0$$

Përdorim formulën kuadratike:

$$x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(2)(35)}}{2(2)}$$ $$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 280}}{4}$$ $$x = \frac{17 \pm \sqrt{9}}{4}$$ $$x = \frac{17 \pm 3}{4}$$ $$x_1 = \frac{17 + 3}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ $$x_2 = \frac{17 - 3}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$

Zgjidhjet janë $x=5$ dhe $x=\frac{7}{2}$.