Zgjidhja e ushtrimit 4

Këndi i brendshëm në $Q$ midis rrugës nga $P$ në $Q$ dhe rrugës nga $Q$ në $R$ mund të gjendet duke përdorur koordinatat e dhëna.

Kemi koordinatën e $P$ në $Q$ si $123^\circ$. Kjo do të thotë se nga veriu në $P$, këndi në drejtim të akrepave të orës deri te vija $PQ$ është $123^\circ$.

Kemi koordinatën e $Q$ në $R$ si $345^\circ$. Kjo do të thotë se nga veriu në $Q$, këndi në drejtim të akrepave të orës deri te vija $QR$ është $345^\circ$.

Për të gjetur këndin $\angle PQR$, na duhet fillimisht të gjejmë koordinatën e $Q$ nga $P$. Kjo është koordinata e pasme (back bearing).

Koordinata e $Q$ nga $P$ është $123^\circ$.

Koordinata e $P$ nga $Q$ (kordinata e pasme) është $123^\circ + 180^\circ = 303^\circ$.

Vizualizoni dy vija veri-jug paralele, njëra në $P$ dhe tjetra në $Q$. Këndi midis vijës $PQ$ dhe vijës veri-jug në $Q$ nga ana e brendshme (këndi në drejtim të kundërt të akrepave të orës nga vija veri-jug në $Q$ deri te vija $QP$) është $360^\circ - 303^\circ = 57^\circ$ ose $303^\circ - 180^\circ = 123^\circ$ (nga ana tjetër e vijës veri). Këndi nga veriu në $Q$ në drejtim të $P$ është $303^\circ$. Kjo do të thotë që këndi nga veriu (drejtimi lart) në $Q$ deri te $QP$ në drejtim të akrepave të orës është $303^\circ$. Këndi i brendshëm midis veriut dhe $QP$ në anën tjetër është $360^\circ - 303^\circ = 57^\circ$.

Mënyra më e thjeshtë për të llogaritur këndin $\angle PQR$ është si më poshtë:

Le të shënojmë vija paralele $N_P$ dhe $N_Q$ si vija veri-jug që kalojnë respektivisht në $P$ dhe $Q$.

Këndi midis $N_P$ dhe $PQ$ është $123^\circ$.

Për shkak se $N_P$ dhe $N_Q$ janë paralele, këndi i alternuar i brendshëm me $123^\circ$ në $Q$ (midis vijës $QP$ dhe drejtimit jug) është $180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$. Këndi midis vijës $QP$ dhe drejtimit Veri në $Q$ (nga ana e majtë) është $57^\circ$. Pra, këndi nga veriu në $Q$ në drejtim të kundërt të akrepave të orës deri te vija $QP$ është $57^\circ$.

Ose, koordinata e $P$ nga $Q$ është $123^\circ + 180^\circ = 303^\circ$. Pra, këndi nga veriu në $Q$ në drejtim të akrepave të orës deri te vija $QP$ është $303^\circ$.

Këndi nga veriu në $Q$ në drejtim të akrepave të orës deri te vija $QR$ është $345^\circ$.

Këndi $\angle PQR$ është diferenca mes këtyre dy drejtimeve në $Q$.

Këndi $\angle PQR = 345^\circ - 303^\circ = 42^\circ$.

Ose, nga imazhi, këndi i brendshëm i rrugës $PQ$ me veriun në $Q$ është $180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$. (sepse drejtimi i jugut në $Q$ dhe drejtimi i veriut në $P$ janë paralele, dhe drejtimi $PQ$ është prerës, kështu që këndi $123^\circ$ dhe këndi i brendshëm midis $PQ$ dhe jugut në $Q$ janë kënde të brendshme plotësuese). Këndi nga veriu (drejtimi lart) në $Q$ në drejtim të $P$ është $57^\circ$ në anën e majtë. Këndi i dhënë i rrugës $QR$ është $345^\circ$. Kjo do të thotë që këndi nga veriu në $Q$ në drejtim të $R$ është $345^\circ$. Këndi midis vijës $QR$ dhe drejtimit veri (në anën e djathtë) është $360^\circ - 345^\circ = 15^\circ$.Këndi $\angle PQR$ është shuma e këndit midis $QP$ dhe veriut ($57^\circ$) dhe këndit midis $QR$ dhe veriut ($15^\circ$).

Këndi $\angle PQR = 57^\circ + 15^\circ = 72^\circ$.

Le të sqarojmë mënyrën me koordinata të pasme:Koordinata $PQ$ është $123^\circ$.Këndi i pasëm i $QP$ është $123^\circ + 180^\circ = 303^\circ$. Kjo është matja nga veriu i $Q$ në drejtim të akrepave të orës drejt $P$.Koordinata $QR$ është $345^\circ$. Kjo është matja nga veriu i $Q$ në drejtim të akrepave të orës drejt $R$.Këndi $\angle PQR = 345^\circ - 303^\circ = 42^\circ$. Kjo është diferenca e drejtimeve. Kjo është drejtë.