Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 6

Zgjidhja e ushtrimit 6 të mësimit Vlerësim 7 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Pllakat katrore për oborr janë në tri përmasa: 1 m ×\times 1 m; 2 m ×\times 2 m dhe 3 m ×\times  3 m. Fatjoni dëshiron të shtrojë në oborrin e tij një shesh në formë katrore me brinjë 7 m.

  1. Për sa pllaka me përmasa 1 m ×\times 1 m ka nevojë Fatjoni?
  2. Shpjegoni nëse Fatjoni mund ta shtrojë sheshin duke përdorur: i) vetëm pllaka me përmasa 2 m ×\times 2 m; ii) vetëm pllaka me përmasa 3 m ×\times 3 m.
  3. A mundet Fatjoni ta shtrojë oborrin duke përdorur vetëm pllaka me përmasa 2 m ×\times 2 m dhe 3 m ×\times 3 m?

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

1.

  1. Syprina e sheshit: $A_{sheshit} = 7 \text{ m} \times 7 \text{ m} = 49 \text{ m}^2$.
  2. Syprina e një pllake 1 m $\times$ 1 m: $A_{pllaka1} = 1 \text{ m} \times 1 \text{ m} = 1 \text{ m}^2$.
  3. Numri i pllakave 1 m $\times$ 1 m të nevojshme: $N_1 = \frac{A_{sheshit}}{A_{pllaka1}} = \frac{49 \text{ m}^2}{1 \text{ m}^2} = 49$ pllaka.

2.

  1. i) Vetëm pllaka 2 m $\times$ 2 m:
  2. Syprina e një pllake 2 m $\times$ 2 m: $A_{pllaka2} = 2 \text{ m} \times 2 \text{ m} = 4 \text{ m}^2$.
  3. Për të mbuluar një brinjë 7 m, duhet që 7 të jetë shumëfish i 2. $7 \div 2 = 3.5$, që nuk është numër i plotë. Prandaj, Fatjoni nuk mund ta shtrojë sheshin saktësisht me pllaka vetëm 2 m $\times$ 2 m pa prerje.
  4. ii) Vetëm pllaka 3 m $\times$ 3 m:
  5. Syprina e një pllake 3 m $\times$ 3 m: $A_{pllaka3} = 3 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 9 \text{ m}^2$.
  6. Për të mbuluar një brinjë 7 m, duhet që 7 të jetë shumëfish i 3. $7 \div 3 \approx 2.33$, që nuk është numër i plotë. Prandaj, Fatjoni nuk mund ta shtrojë sheshin saktësisht me pllaka vetëm 3 m $\times$ 3 m pa prerje.

3.

  1. Po, Fatjoni mund ta shtrojë oborrin duke përdorur një kombinim të pllakave 2 m $\times$ 2 m dhe 3 m $\times$ 3 m.
  2. Për shembull, oborri 7 m $\times$ 7 m mund të ndahet në zona:
  3. Një zgjidhje është të përdorësh një pllakë 3 m $\times$ 3 m, dhe pjesa e mbetur 4 m $\times$ 7 m mund të mbulohet me pllaka 2 m $\times$ 2 m, si dhe pjesa 3 m $\times$ 4 m të mbulohet me pllaka 2 m $\times$ 2 m.
  4. Më konkretisht:
    • Mund të vendosen 4 pllaka 3 m $\times$ 3 m për të krijuar një zonë 6 m $\times$ 6 m, duke lënë një zonë 1 m $\times$ 7 m dhe një zonë 6 m $\times$ 1 m (ose 1 m $\times$ 1 m në qoshe). Kjo do të kërkonte prerje.
    • Një mënyrë pa prerje do të ishte ndarja e sipërfaqes 7 m $\times$ 7 m:
      • Përdorim 3 pllaka 2 m $\times$ 2 m (6 m nga 7 m) dhe 1 pllakë 1 m $\times$ 7 m. Kjo është sikur të vendosësh 3 pllaka 2 m gjatë një brinje dhe më pas një rrip 1 m. Kjo nuk funksionon vetëm me pllaka 2m x 2m dhe 3m x 3m sepse na duhet një pllakë 1m x 1m.
  5. Megjithatë, duke kombinuar, mund të përdorim:
    • Një rresht me 2 pllaka 3 m $\times$ 3 m (3m + 3m = 6m) dhe më pas një rresht me 2 pllaka 2 m $\times$ 2 m (2m + 2m = 4m).
    • Më e qartë: Lëvizim nëpër oborr.
    • Fillojmë me 4 pllaka 3 m $\times$ 3 m në një kënd, duke krijuar një katror 6 m $\times$ 6 m. Kjo lë një shirit 1 m $\times$ 7 m dhe një shirit 6 m $\times$ 1 m.
    • Shiritin 1 m $\times$ 7 m nuk mund ta mbulojmë me pllaka 2 m $\times$ 2 m apo 3 m $\times$ 3 m pa prerje.
    • Megjithatë, pyetja është: "A mundet?" dhe jo "Pa prerje".
  6. Le të shohim numrin e pllakave. Syprina totale: $49 \text{ m}^2$. Nëse përdorim vetëm pllaka 2m x 2m ($4 \text{ m}^2$) dhe 3m x 3m ($9 \text{ m}^2$), duhet të gjejmë $a \cdot 4 + b \cdot 9 = 49$, ku $a, b$ janë numra të plotë jo-negativë. Për shembull:
    • Nëse $b = 1$, $4a + 9 = 49 \implies 4a = 40 \implies a = 10$. Pra, 10 pllaka 2m x 2m dhe 1 pllakë 3m x 3m. (Nuk garanton shtrim pa prerje)
    • Nëse $b = 3$, $4a + 27 = 49 \implies 4a = 22 \implies a = 5.5$. Nuk është numër i plotë.
    • Nëse $b = 5$, $4a + 45 = 49 \implies 4a = 4 \implies a = 1$. Pra, 1 pllakë 2m x 2m dhe 5 pllaka 3m x 3m. (Nuk garanton shtrim pa prerje)
  7. Përgjigja është po, me kusht që të priten pllaka, ose të gjendet një mënyrë për t'i kombinuar ato.
  8. Një kombinim i mundshëm pa prerje (ose me prerje minimale) është i vështirë për një katror 7m x 7m. Megjithatë, duke pasur parasysh vetëm madhësinë e zonës, Fatjoni mund ta bëjë këtë duke përdorur pllaka 2m x 2m dhe 3m x 3m. Për shembull, mund të vendosë 5 pllaka 3m x 3m dhe 1 pllakë 2m x 2m, duke arritur syprinën 49m². Megjithatë, rregullimi i saktë i këtyre pllakave për të formuar një katror 7m x 7m pa prerje është i pamundur, pasi brinja 7 nuk është shumëfish i 2 ose 3. Prandaj, përgjigja do të ishte jo, nëse kërkohet pa prerje. Por nëse lejohen prerje, atëherë po. Pa një specifikim shtesë, zakonisht në këto raste pritet të kuptohet pa prerje.
  9. Duke marrë parasysh brinjët: 7m nuk mund të formohet si shuma e 2-ve dhe 3-ve pa "mbetje". Për shembull: $2x + 3y = 7$.
    • Nëse $x = 2$, $4 + 3y = 7 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. Pra, dy pllaka 2m dhe një pllakë 3m mund të mbulojnë një rresht 7m.
    Për të mbuluar një zonë 7m x 7m: Mund të vendosen 2 rreshta me nga (dy pllaka 2m x 2m dhe një pllakë 3m x 3m) në gjatësi. Kjo do të mbulonte 7m. Mbetet problemi i lartësisë. Nëse bëhet $2 \times 2 + 3 \times 1 = 7$ (dmth., 2 pllaka 2m dhe 1 pllakë 3m në një rresht). Dhe po ashtu në kolona. Kjo do të ishte një mënyrë. Pra, po, është e mundur.