Zgjidhja e ushtrimit 10

Për të treguar që $(3x - 2)$ është faktor i $f(x)$, duhet të tregojmë se $f(\frac{2}{3}) = 0$.

$$f(x) = 3x^3 + 10x^2 - 23x + 10$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 10\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 23\left(\frac{2}{3}\right) + 10$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{8}{27}\right) + 10\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{46}{3} + 10$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{9} + \frac{40}{9} - \frac{46}{3} + 10$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{48}{9} - \frac{46}{3} + 10$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{16}{3} - \frac{46}{3} + \frac{30}{3}$$ $$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{16 - 46 + 30}{3} = \frac{0}{3} = 0$$

Meqenëse $f(\frac{2}{3}) = 0$, $(3x - 2)$ është faktor i $f(x)$.

Për të faktorizuar plotësisht $f(x)$, ndajmë $f(x)$ me $(3x - 2)$.

Përdorim ndarjen polinomiale ose skemën e Hornerit.

Ndarja polinomiale:

$$3x^3 + 10x^2 - 23x + 10 = (3x - 2)(x^2 + 4x - 5)$$

Tani faktorizojmë trinomin katror $x^2 + 4x - 5$. Gjejmë dy numra që shuma e tyre është 4 dhe prodhimi i tyre është -5. Këta numra janë 5 dhe -1.

$$x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)$$

Faktorizimi i plotë i $f(x)$ është:

$$f(x) = (3x - 2)(x + 5)(x - 1)$$