Zgjidhja e ushtrimit 8

Për të treguar që $(3x - 4)$ është faktor i $(6x^3 - 5x^2 - 16x + 16)$, përdorim Teoremën e Faktorëve. Gjejmë rrënjën e faktororit $3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3}$. Zëvendësojmë këtë vlerë në polinom:

$$P(x) = 6x^3 - 5x^2 - 16x + 16$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = 6\left(\frac{4}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 16\left(\frac{4}{3}\right) + 16$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = 6\left(\frac{64}{27}\right) - 5\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{64}{3} + 16$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{128}{9} - \frac{80}{9} - \frac{192}{9} + \frac{144}{9}$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{128 - 80 - 192 + 144}{9}$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{48 - 192 + 144}{9}$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{-144 + 144}{9}$$ $$P\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{0}{9} = 0$$

Meqenëse $P\left(\frac{4}{3}\right) = 0$, (3x - 4) është faktor i polinomit.

Për të treguar që $(2x + 1)$ është faktor i $(2x^3 - x^2 - 7x + 4)$, përdorim Teoremën e Faktorëve. Gjejmë rrënjën e faktororit $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$. Zëvendësojmë këtë vlerë në polinom:

$$P(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 7\left(-\frac{1}{2}\right) + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{8}\right) - \left(\frac{1}{4}\right) + \frac{7}{2} + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{7}{2} + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{4} + \frac{7}{2} + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2} + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{2} + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + 4$$ $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = 7$$

Meqenëse $P\left(-\frac{1}{2}\right) = 7 \neq 0$, $(2x + 1)$ nuk është faktor i polinomit.