Zgjidhja e ushtrimit 9

Faktorizojmë emëruesin si ndryshim katrorësh:

$$x^2-3 = x^2-(\sqrt{3})^2 = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$$

Vendosim thyesën në formën e zbërthimit të thyesave elementare:

$$\frac{4x+2\sqrt{3}}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})} = \frac{A}{x-\sqrt{3}} + \frac{B}{x+\sqrt{3}}$$

Shumëzojmë të dy anët me $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$:

$$4x+2\sqrt{3} = A(x+\sqrt{3}) + B(x-\sqrt{3})$$

Për të gjetur $A$, vendosim $x=\sqrt{3}$:

$$4(\sqrt{3})+2\sqrt{3} = A(\sqrt{3}+\sqrt{3}) + B(\sqrt{3}-\sqrt{3})$$ $$6\sqrt{3} = A(2\sqrt{3})$$ $$A = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3$$

Për të gjetur $B$, vendosim $x=-\sqrt{3}$:

$$4(-\sqrt{3})+2\sqrt{3} = A(-\sqrt{3}+\sqrt{3}) + B(-\sqrt{3}-\sqrt{3})$$ $$-4\sqrt{3}+2\sqrt{3} = A(0) + B(-2\sqrt{3})$$ $$-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}B$$ $$B = \frac{-2\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}} = 1$$

Kështu, zbërthimi është:

$$\frac{4x+2\sqrt{3}}{x^2-3} = \frac{3}{x-\sqrt{3}} + \frac{1}{x+\sqrt{3}}$$