Zgjidhja e ushtrimit 17

Tregoni që ekuacioni $\frac{1}{1-\sin x} + \frac{1}{1+\sin x} = 8$ mund të shkruhet në trajtën $\sec^2 x = 4$.

Përdorni përfundimin tuaj për të zgjidhur ekuacionin $\frac{1}{1-\sin(2x+10^\circ)} + \frac{1}{1+\sin(2x+10^\circ)} = 8$, për $0^\circ \le x \le 180^\circ$.

Nga pika 1, ekuacioni i formës $\frac{1}{1-\sin \theta} + \frac{1}{1+\sin \theta} = 8$ thjeshtohet në $\sec^2 \theta = 4$.

Në rastin tonë, $\theta = 2x+10^\circ$. Pra, ekuacioni bëhet:

$$ \sec^2 (2x+10^\circ) = 4 $$

Marrim rrënjën katrore në të dy anët:

$$ \sec (2x+10^\circ) = \pm 2 $$

Kjo do të thotë $\frac{1}{\cos(2x+10^\circ)} = \pm 2$, ose $\cos(2x+10^\circ) = \pm \frac{1}{2}$.

Kemi dy raste:

Rasti 1: $\cos(2x+10^\circ) = \frac{1}{2}$

Vlera kryesore e $2x+10^\circ$ është $60^\circ$. Zgjidhjet e përgjithshme janë:

$$ 2x+10^\circ = 60^\circ + 360^\circ k $$ $$ 2x = 50^\circ + 360^\circ k $$ $$ x = 25^\circ + 180^\circ k $$

Dhe

$$ 2x+10^\circ = -60^\circ + 360^\circ k $$ $$ 2x = -70^\circ + 360^\circ k $$ $$ x = -35^\circ + 180^\circ k $$

Rasti 2: $\cos(2x+10^\circ) = -\frac{1}{2}$

Vlera kryesore e $2x+10^\circ$ është $120^\circ$. Zgjidhjet e përgjithshme janë:

$$ 2x+10^\circ = 120^\circ + 360^\circ k $$ $$ 2x = 110^\circ + 360^\circ k $$ $$ x = 55^\circ + 180^\circ k $$

Dhe

$$ 2x+10^\circ = -120^\circ + 360^\circ k $$ $$ 2x = -130^\circ + 360^\circ k $$ $$ x = -65^\circ + 180^\circ k $$

Tani gjejmë zgjidhjet për $0^\circ \le x \le 180^\circ$ nga të gjitha rastet, duke marrë $k$ si numër i plotë.

• Nga $x = 25^\circ + 180^\circ k$:
  • Për $k=0$, $x = 25^\circ$.