Zgjidhja e ushtrimit 3

Funksioni i dhënë është: $$y = x^4 + 8x^2 + 25x + 10$$ Derivati i parë: $$\frac{dy}{dx} = 4x^3 + 16x + 25$$ Derivati i dytë: $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2 + 16$$ Meqenëse $x^2 \ge 0$ për çdo vlerë reale të $x$, atëherë $12x^2 \ge 0$. Kështu, $12x^2 + 16 \ge 16$. Pra, $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ për çdo vlerë të $x$. Kjo tregon që grafiku i funksionit është i lugët (konkav lart) për çdo vlerë të $x$.

Funksioni i dhënë është: $$y = 1 - 2x - 10x^2 + 4x^3 - x^4$$ Derivati i parë: $$\frac{dy}{dx} = -2 - 20x + 12x^2 - 4x^3$$ Derivati i dytë: $$\frac{d^2y}{dx^2} = -20 + 24x - 12x^2$$ Mund ta rishkruajmë derivatin e dytë si: $$\frac{d^2y}{dx^2} = -4(3x^2 - 6x + 5)$$ Tani shqyrtojmë diskriminantin e trinomit $3x^2 - 6x + 5$: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(5) = 36 - 60 = -24$$ Meqenëse diskriminanti është negativ ($\Delta < 0$) dhe koeficienti i $x^2$ (që është $3$) është pozitiv, trinomi $3x^2 - 6x + 5$ është gjithmonë pozitiv për çdo vlerë të $x$. Kështu, $3x^2 - 6x + 5 > 0$. Prandaj, $\frac{d^2y}{dx^2} = -4(3x^2 - 6x + 5) < 0$ për çdo vlerë të $x$. Kjo tregon që grafiku i funksionit është i mysët (konkav poshtë) për çdo vlerë të $x$.