Zgjidhja e ushtrimit 8

Për të gjetur derivatin e $f(x) = \sin(2x)$ me anë të përkufizimit, përdorim:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Zëvendësojmë $f(x) = \sin(2x)$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2(x+h)) - \sin(2x)}{h}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2x+2h) - \sin(2x)}{h}$$

Përdorim udhëzimin $\frac{1}{h} = \frac{2}{2h}$, i cili na lejon të shkruajmë:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(2x+2h) - \sin(2x)}{2h}$$

Le të shënojmë $u = 2x$. Atëherë shprehja bëhet:

$$f'(x) = 2 \lim_{h \to 0} \frac{\sin(u+2h) - \sin(u)}{2h}$$

Le të shënojmë $k = 2h$. Kur $h \to 0$, kemi $k \to 0$. Kështu që:

$$f'(x) = 2 \lim_{k \to 0} \frac{\sin(u+k) - \sin(u)}{k}$$

Kjo është formula e derivatit të $\sin(u)$ në lidhje me $u$, i cili është $\cos(u)$.

$$f'(x) = 2 \cos(u)$$

Zëvendësojmë $u = 2x$ përsëri:

$$f'(x) = 2 \cos(2x)$$