Zgjidhja e ushtrimit 1

Për $\int \ln(4x) \, dx$:

1. Zgjedhim: $u = \ln(4x)$ dhe $dv = dx$.

2. Gjejmë: $du = \frac{1}{4x} \cdot 4 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$ dhe $v = x$.

3. Zbatojmë formulën e integrimit me pjesë $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$$ \int \ln(4x) \, dx = x \ln(4x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx $$ $$ = x \ln(4x) - \int 1 \, dx $$ $$ = x \ln(4x) - x + C $$

Për $\int \ln(3x + 1) \, dx$:

1. Zgjedhim: $u = \ln(3x + 1)$ dhe $dv = dx$.

2. Gjejmë: $du = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \, dx = \frac{3}{3x + 1} \, dx$ dhe $v = x$.

3. Zbatojmë formulën:

$$ \int \ln(3x + 1) \, dx = x \ln(3x + 1) - \int x \cdot \frac{3}{3x + 1} \, dx $$ $$ = x \ln(3x + 1) - 3 \int \frac{x}{3x + 1} \, dx $$

4. Njehsojmë integralin e mbetur:

$$ \int \frac{x}{3x + 1} \, dx = \int \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3(3x + 1)} \right) \, dx $$ $$ = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \ln|3x + 1| $$ $$ = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} \ln|3x + 1| $$

5. Zëvendësojmë përsëri:

$$ \int \ln(3x + 1) \, dx = x \ln(3x + 1) - 3 \left( \frac{x}{3} - \frac{1}{9} \ln|3x + 1| \right) + C $$ $$ = x \ln(3x + 1) - x + \frac{1}{3} \ln|3x + 1| + C $$