Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)
Zgjidhje ushtrimi

Zgjidhja e ushtrimit 3

Zgjidhja e ushtrimit 3 të mësimit 5.4A në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Njehsoni integralet në vijim.

  1. ∫\int4x−1(x−1)(2x+1)\frac{4x-1}{(x-1)(2x+1)}dxx
  2. ∫\int3x(2x+1)(2x−1)\frac{3x}{(2x+1)(2x-1)}dxx
  3. ∫\int2−x(3x−1)(2x+1)\frac{2-x}{(3x-1)(2x+1)}dxx
  4. ∫\int1x(1−x)\frac{1}{x(1-x)}dxx
  5. ∫\intx+1x(4−x)\frac{x+1}{x(4-x)}dxx
  6. ∫\int12x(10−x)\frac{1}{2x(10-x)}dxx

Zgjidhja

1
Për të njehsuar integralin $\int \frac{4x-1}{(x-1)(2x+1)} dx$:
Zbërthejmë thyesën në thyesa parciale:
$$\frac{4x-1}{(x-1)(2x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x+1}$$
Shumëzojmë të dy anët me $(x-1)(2x+1)$:
$$4x-1 = A(2x+1) + B(x-1)$$
Për $x=1$:
$$4(1)-1 = A(2(1)+1) + B(1-1) \implies 3 = 3A \implies A=1$$
Për $x=-\frac{1}{2}$:
$$4\left(-\frac{1}{2}\right)-1 = A\left(2\left(-\frac{1}{2}\right)+1\right) + B\left(-\frac{1}{2}-1\right) \implies -2-1 = B\left(-\frac{3}{2}\right) \implies -3 = -\frac{3}{2}B \implies B=2$$
Kështu, integrali bëhet:
$$\int \left(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{2x+1}\right) dx$$
Njehsojmë integralin:
$$\int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{2}{2x+1} dx = \ln|x-1| + \ln|2x+1| + C$$
$$ = \ln(|x-1||2x+1|) + C$$
2
Për të njehsuar integralin $\int \frac{3x}{(2x+1)(2x-1)} dx$:
Zbërthejmë thyesën në thyesa parciale:
$$\frac{3x}{(2x+1)(2x-1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{2x-1}$$
Shumëzojmë të dy anët me $(2x+1)(2x-1)$:
$$3x = A(2x-1) + B(2x+1)$$
Për $x=\frac{1}{2}$:
$$3\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(2\left(\frac{1}{2}\right)-1\right) + B\left(2\left(\frac{1}{2}\right)+1\right) \implies \frac{3}{2} = B(2) \implies B=\frac{3}{4}$$
Për $x=-\frac{1}{2}$:
$$3\left(-\frac{1}{2}\right) = A\left(2\left(-\frac{1}{2}\right)-1\right) + B\left(2\left(-\frac{1}{2}\right)+1\right) \implies -\frac{3}{2} = A(-2) \implies A=\frac{3}{4}$$
Kështu, integrali bëhet:
$$\int \left(\frac{3/4}{2x+1} + \frac{3/4}{2x-1}\right) dx$$
Njehsojmë integralin:
$$\frac{3}{4} \int \frac{1}{2x+1} dx + \frac{3}{4} \int \frac{1}{2x-1} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}\ln|2x+1| + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$$
$$ = \frac{3}{8}\ln|2x+1| + \frac{3}{8}\ln|2x-1| + C = \frac{3}{8}\ln(|2x+1||2x-1|) + C$$
$$ = \frac{3}{8}\ln|4x^2-1| + C$$

Edhe 4 hapa deri te përgjigjja

Hapat e tjerë janë falas në aplikacion

Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.

4.8/5100,000+ shkarkimePa pagesë, gjithmonë
Shkarko nëApp Store
Merr nëGoogle Play

Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.

Vazhdo në aplikacion