Pyetja
Llogaritni secilin prej integraleve të mëposhtme. Argumentoni përgjigjet.
- d
- d
- d
- d
Zgjidhja
Për të llogaritur integralin $\int^{3}_{1} \frac{5}{x(x- 5)} dx$, së pari shpërbëjmë funksionin në thyesa parciale:
$$ \frac{5}{x(x-5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-5} $$
Shumëzojmë të dyja anët me $x(x-5)$:
$$ 5 = A(x-5) + Bx $$
Për $x=0$:
$$ 5 = A(0-5) \implies 5 = -5A \implies A = -1 $$
Për $x=5$:
$$ 5 = B(5) \implies B = 1 $$
Kështu, funksioni bëhet:
$$ \frac{5}{x(x-5)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} $$
Tani integrojmë:
$$ \int \left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5}\right) dx = -\ln|x| + \ln|x-5| + C = \ln\left|\frac{x-5}{x}\right| + C $$
Llogarisim integralin e caktuar:
$$ \left[\ln\left|\frac{x-5}{x}\right|\right]^{3}_{1} = \ln\left|\frac{3-5}{3}\right| - \ln\left|\frac{1-5}{1}\right| $$
$$ = \ln\left|\frac{-2}{3}\right| - \ln\left|\frac{-4}{1}\right| $$
$$ = \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln(4) $$
$$ = \ln\left(\frac{2/3}{4}\right) = \ln\left(\frac{2}{12}\right) = \ln\left(\frac{1}{6}\right) = -\ln(6) $$
Për të llogaritun integralin $\int^{6}_{3} \frac{4}{x(x-2)} dx$, së pari shpërbëjmë funksionin në thyesa parciale:
$$ \frac{4}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} $$
Shumëzojmë të dyja anët me $x(x-2)$:
$$ 4 = A(x-2) + Bx $$
Për $x=0$:
$$ 4 = A(0-2) \implies 4 = -2A \implies A = -2 $$
Për $x=2$:
$$ 4 = B(2) \implies B = 2 $$
Kështu, funksioni bëhet:
$$ \frac{4}{x(x-2)} = -\frac{2}{x} + \frac{2}{x-2} $$
Tani integrojmë:
$$ \int \left(-\frac{2}{x} + \frac{2}{x-2}\right) dx = -2\ln|x| + 2\ln|x-2| + C = 2\ln\left|\frac{x-2}{x}\right| + C $$
Llogarisim integralin e caktuar:
$$ \left[2\ln\left|\frac{x-2}{x}\right|\right]^{6}_{3} = 2\ln\left|\frac{6-2}{6}\right| - 2\ln\left|\frac{3-2}{3}\right| $$
$$ = 2\ln\left|\frac{4}{6}\right| - 2\ln\left|\frac{1}{3}\right| $$
$$ = 2\ln\left(\frac{2}{3}\right) - 2\ln\left(\frac{1}{3}\right) $$
$$ = 2\left(\ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) $$
$$ = 2\ln\left(\frac{2/3}{1/3}\right) = 2\ln(2) $$
Edhe 2 hapa deri te përgjigjja
Hapat e tjerë janë falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.