Zgjidhja e ushtrimit 2

Për integralin $\int \frac{2}{4x^2-1} dx$:

1. Faktorizojmë emëruesin:

$$ 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) $$

2. Dekompozojmë në thyesa parciale:

$$ \frac{2}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{2x+1} $$

Shumëzojmë të dy anët me $(2x-1)(2x+1)$:

$$ 2 = A(2x+1) + B(2x-1) $$

Për $x = \frac{1}{2}$:

$$ 2 = A(2(\frac{1}{2})+1) + B(0) \Rightarrow 2 = 2A \Rightarrow A = 1 $$

Për $x = -\frac{1}{2}$:

$$ 2 = A(0) + B(2(-\frac{1}{2})-1) \Rightarrow 2 = -2B \Rightarrow B = -1 $$

3. Integrali bëhet:

$$ \int \left(\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2x+1}\right) dx $$

4. Njehsojmë integralin:

$$ = \frac{1}{2}\ln|2x-1| - \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C $$ $$ = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{2x-1}{2x+1}\right| + C $$

Për integralin $\int \frac{3x}{9x^2-4} dx$:

1. Faktorizojmë emëruesin:

$$ 9x^2-4 = (3x-2)(3x+2) $$

2. Dekompozojmë në thyesa parciale:

$$ \frac{3x}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{A}{3x-2} + \frac{B}{3x+2} $$

Shumëzojmë të dy anët me $(3x-2)(3x+2)$:

$$ 3x = A(3x+2) + B(3x-2) $$

Për $x = \frac{2}{3}$:

$$ 3(\frac{2}{3}) = A(3(\frac{2}{3})+2) + B(0) \Rightarrow 2 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{2} $$

Për $x = -\frac{2}{3}$:

$$ 3(-\frac{2}{3}) = A(0) + B(3(-\frac{2}{3})-2) \Rightarrow -2 = -4B \Rightarrow B = \frac{1}{2} $$

3. Integrali bëhet:

$$ \int \left(\frac{1/2}{3x-2} + \frac{1/2}{3x+2}\right) dx $$

4. Njehsojmë integralin:

$$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\ln|3x-2| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\ln|3x+2| + C $$ $$ = \frac{1}{6}\ln|3x-2| + \frac{1}{6}\ln|3x+2| + C $$ $$ = \frac{1}{6}\ln|(3x-2)(3x+2)| + C $$ $$ = \frac{1}{6}\ln|9x^2-4| + C $$