Zgjidhja e ushtrimit 5

Për të treguar se pikat $D, T, S$ ndodhen në një drejtëz, duhet të tregojmë se vektorët $\vec{DT}$ dhe $\vec{DS}$ janë kolinearë (d.m.th. njëri është shumëfish i tjetrit).

Llogarisim $\vec{DT}$:

$$ \vec{DT} = \vec{t} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} - 4\vec{d}}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4} $$

Llogarisim $\vec{DS}$:

$$ \vec{DS} = \vec{s} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}}{3} $$

Mund të shohim se:

$$ \vec{DT} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}) $$ $$ \vec{DS} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}) $$

Rrjedh që:

$$ \vec{DT} = \frac{3}{4} \vec{DS} $$

Meqenëse $\vec{DT} = k \vec{DS}$ (ku $k = 3/4$), vektorët janë kolinearë dhe kanë një pikë të përbashkët ($D$), kështu që pikat $D, T, S$ ndodhen në një drejtëz.